發(fā)布時間：2023-07-19 17:11:48
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學思維的主要類型樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
【關(guān)鍵詞】課題學習;最短路徑問題;實施;交流
序言
最短路徑問題的教學在初中教學中出現(xiàn)有幾種類型，頻繁出現(xiàn)的主要在幾何與函數(shù)知識點教學方面，以學生能力提升為主，教師應(yīng)當在選擇課題時注意此點，采用便捷、靈活的計算方法和技巧，優(yōu)化教學方法，提高學生解題的效率，培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維能力。
1.課題學習原則
課題學習屬于新穎的學習方式，課題學習課堂上教師需要對教科書或者是相同類型的課題、題型進行有效整合，通過教師的教學引導，綜合運用各種解題方法對課題進行解決，積累更多課題知識，提高自主探究能力，拓展學生學習交流，引發(fā)更多學習創(chuàng)新方法，課題學習有關(guān)特征主要有四種：主體性，課題學習可以充分體現(xiàn)出學生在學習的過程中是要通過合作討論、自主探索的學習方式，才可以在解決數(shù)學問題有清晰的解題步驟和思考思維，以問題作為出發(fā)點，然后主動思考問題，體現(xiàn)了學生主體地位突出;探究性，課題學習教學需要教師引導學生對問題進行探究，絕不可直接解答題目反而遏制了學生探究思維的開發(fā)，必須要體現(xiàn)課題學習的探究性;綜合性，課題學習所涉及的內(nèi)容比較廣泛，如果是在初中三年級的話，學習最短路徑問題就會涉及到整個初中數(shù)學知識體系，包括的范圍廣，或者還接觸到其他學科中去，體現(xiàn)課題學習的綜合性強的特點;開放性，課題學習不局限與教材的內(nèi)容，學習本來就具有融會貫通的思維能力，沒有持久不變的題目，只有永恒的邏輯思維，當遇到相類似的題型，就需要學生使用解題技巧和數(shù)學理論知識結(jié)合起來，教師亦當如此。
2.強化對“課題學習”理論的認識的理解
教師在進行“課題學習”的課堂之前，幫助學生對各個類型的知識點進行回顧，把相關(guān)的數(shù)學概念和定理整理歸納好，思考各個類型知識點和問題的解決途徑和技巧。同時，教師也需要加固課題學習所涉及的數(shù)學知識點和教學的相應(yīng)技巧與教學方法，充分做好備課工作，深刻認識到“課堂學習”的重要教學理念和實際的教學目標，做好課堂的教學規(guī)劃和改善課堂教學流程。
3.規(guī)劃“課題學習”教學方案
此次“課堂學習”的教學內(nèi)容是關(guān)于初中數(shù)學最短路徑的問題，教師需要根據(jù)學生所學過的知識內(nèi)容進行規(guī)劃后課堂教學的方案，分配好各個知識點的最短路徑問題在課堂上利用的時間，知識點的難易程度、解題方法和教學方式會決定所耗費的時間長短。關(guān)于最短路徑的問題教師首先收集好典型且具有意義性的題目，并且了解如何進行解答。例如教師可以從螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食，其原理是線段之和最短的問題或者是數(shù)模、函數(shù)等方面進行收集相關(guān)的數(shù)學題目，此外，在題目中還需要對該知識進行拓展，或者構(gòu)思不同方式的題目，拓展學生思維的界限，教師還應(yīng)強調(diào)由易到難的教學觀念。
例如：
問題一、如圖1，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。
圖1
此問題的要求就是要在直線上找到一個點，這一點要使得直線同側(cè)的兩個定點到這點的距離之和要達到最短，此題利用到“兩點間的所有連線中，線段最短”的理論來進行論證求解。除了這一題外還有其他相同類型的題目比如：螞蟻的爬行問題，如圖2是一個長方體木塊，已知AB=5，BC=3，CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是多少？
圖2
這都屬于最短路徑的數(shù)學題目，涉及到幾何體的內(nèi)容，需要拆開的方式來求證。
問題二、數(shù)學知識點不僅僅只有這點，還有關(guān)于幾何方面的知識都有最短路徑的探究：
如圖3，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點D在弧線AC上，弧AD等于2倍的弧CD，點P是半徑OC上的一個動點，求AP+PD的最小值是多少？
圖3
這類型的題目需要結(jié)合到幾何定理知識來求解。
教師在進行“課題學習”之前就需要對這些類型的題型完全把握好，分析幾何型和數(shù)形結(jié)合的問題，理清解題的過程，貫穿到哪些方面的數(shù)學定理、概論。結(jié)合到題目的難易程度或者知識點范圍，可以規(guī)劃幾個課時才可以解決，制定明確的課堂流程。
4.利用教學方法促成“課題學習”教學
教師進行改善教學方法，需要考慮到“課題學習”的主要特點來制定相應(yīng)的教學方法，就從它有主體性的特點來思考。教師可以展開小組合作討論活動，對最短途徑問題進行探索，為學生提高情境教學的環(huán)境，提高學生課題學習課程的興趣，培養(yǎng)學生探索思維，創(chuàng)新思維。例如在“問題一”中的第二類型的題目上展開小組討論活動，由于問題難度不算高，教師可以一兩人為一小組，提倡學生利用上現(xiàn)有制作的數(shù)學模型展開討論，可以把制作好的長方體標記好有字母的標記，讓學生進行思考探索，學生在探索思考過程中，加上動手的操作，就可以理解到如何進行解決問題。從小組討論的教學方式來說，極好地體現(xiàn)了“課題學習”教學的有效性。此外，教師還應(yīng)該采用數(shù)形結(jié)合法來教學，圖像的表達可以把抽象的數(shù)學條件，誘導出形象的圖像，加快學生解題速度。
結(jié)語：綜上所述，數(shù)學問題萬變不離其宗，所有題目或者題型的變化，都可以找到問題的突破口，結(jié)合數(shù)學理論知識就可以把問題解答，課題學習的關(guān)鍵作用使得學生在學習過程中對知識點的回顧，加深對知識的理解，同時可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索精神。
【參考文獻】
[1]葉瀾.《“新基礎(chǔ)教育”探索性研究報告集》，三聯(lián)書店，1996年版
[2]戴向陽.動點下的線段最值解法探微.中學數(shù)學教學參考，2014（3）
[關(guān)鍵詞]數(shù)學練習 錯誤類型 措施
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-078
小學是培養(yǎng)學生思維習慣的重要時期，如果教師能在這個階段很好地分析學生產(chǎn)生錯誤的原因，將會對學生今后的數(shù)學學習起到較好的促進作用。
一、負向遷移導致的錯誤
數(shù)學是系統(tǒng)性很強的學科，一般來說新知識的學習是需要以舊知識為基礎(chǔ)的，這就是知識認知的遷移作用，但是，舊知識也會影響學生對新知識的理解，學生的很多錯誤就是由知識負向遷移導致的。
例如，學生已經(jīng)學習了“A×B+A×C=A×（B+C）”這一運算規(guī)律，因此，當他們面對“100÷10+100÷5”的時候，很可能因為知識的負向遷移而犯錯。
師：請計算“100÷10+100÷5”。
生1：約等于6.7.
師：你是怎么計算的？
生1：100÷10+100÷5=100÷（10+5）=6.7。
師：請再算一下，100÷10和100÷5各是多少？
生1：10和20，那么加起來應(yīng)該是30，而不是6.7
師：沒錯。
學生的這種錯誤主要是由思維慣性導致的，若想減少這方面的錯誤，教師要消除學生“想當然”的思維習慣，應(yīng)當將類似的問題“抽”出來，先作設(shè)問，當學生犯錯時，再告知學生正確的計算方法，利用錯誤引發(fā)學生的重視。
二、邏輯性錯誤
所謂邏輯性錯誤就是在思考的過程中，違反了邏輯規(guī)律所產(chǎn)生的錯誤，如偷換論題、循環(huán)論證、自相矛盾等都屬于邏輯性錯誤。
例如，在教學平行四邊形的面積時，教師先讓學生通過自己的方式來計算平行四邊形的面積，可提示學生聯(lián)想長方形和正方形的面積計算方法。主要目的是為了得出平行四邊形的面積公式。但是，當教師對學生進行提問時，卻出現(xiàn)下面的對話。
師：這個平行四邊形的面積是多少？
生1：35cm2。
師：你是怎么得出的？
生1：這個平行四邊形的底是7cm，高是5cm，那么7×5=35（cm2），所以這個平行四邊形的面積是35cm2。
師：那么你認為平行四邊形的面積是底乘高嗎？
生1：是的。
顯然，學生直接套用了已知的結(jié)論。雖然教師有相關(guān)的提示，但是學生直接用猜想來證明結(jié)論就是一種錯誤的邏輯思維。
邏輯思維是一種難以把控的思維，所以教師應(yīng)將邏輯思維的指導深入到日常的教學中。對此，教師在教學中必須規(guī)范邏輯推理過程，避免為了趕課而縱容學生的錯誤。另外，教師需要加強自身邏輯思維的學習，只有教師有較強的邏輯思維能力，才能夠在教學中及時發(fā)現(xiàn)學生邏輯思維的錯誤。
三、概念不清導致的錯誤
概念不清是學生常見的錯誤類型，主要是由于學生對概念認識零碎或模糊，因而出現(xiàn)張冠李戴或認識錯誤的現(xiàn)象。
例如，教學“垂直”時教師用細繩拴著一個鐵錠。
師：細繩和地面是什么關(guān)系？
生1：細繩垂直于地面。
師（將細橫放，與墻面成90°）：現(xiàn)在細繩和墻面是什么關(guān)系？
生2：不知道。
師：現(xiàn)在細繩和墻面成90°，所以細繩垂直于墻面。
生3：但是一般說垂直時，都是豎的，沒有這樣橫的?。?/p>
師：你們說的是生活概念上的垂直，剛剛說的是數(shù)學概念上的垂直。在數(shù)學概念上，當兩條直線相交成90°時，就說這兩條直線互相垂直。
教師將相似的概念進行對比能，能讓學生更清晰地看到其中的區(qū)別，同時加強學生對概念的理解，以及在審題過程中加強對關(guān)鍵詞的認知，也能避免由于審題不清導致的概念混淆。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；高中數(shù)學；差異；特點
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】1671-8437（2012）02-0043-02
一、初中數(shù)學與高中數(shù)學的差異
1.知識差異
初高中數(shù)學有很多銜接知識點，如四種命題、函數(shù)概念等。因此，在講授新知識時，教師要引導學生聯(lián)系舊知識，復習和區(qū)別舊知識，特別注重對那些易錯易混的知識加以分析、比較，從而達到溫故而知新的效果。
例如，在學習一元二次不等式解法時，教師應(yīng)引導學生回顧在初中已學過的一元二次方程和二次函數(shù)的有關(guān)知識，為學習一元二次不等式的解法做好必要的鋪墊，如：根的判別式，求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系（即“韋達定理”），二次函數(shù)的圖像等等。
初中數(shù)學知識少、淺、難度容易、知識面窄，而高中數(shù)學知識廣泛，將對初中的數(shù)學知識進行推廣和引申，也是對初中數(shù)學知識的完善。如：初中學習的角的概念只是“0度～180度”范圍內(nèi)的，但實際當中也有720度和“負300度”等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學習《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積，還將學習“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法 （答：6種）；②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：3種），高中將學習統(tǒng)計這些排列的數(shù)學方法。初中一個負數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i2=-1，就使-1的平方根為±i，即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到復數(shù)范圍等。這些知識只有在高中教師作好新舊知識的對照、類比、歸納的基礎(chǔ)上才能使學生輕松理解.
2.學習方法的差異
（1）初中課堂教學量小、知識簡單，通過教師放慢課堂進度，爭取讓全體同學理解知識點和解題方法，然后通過大量的課堂內(nèi)、外練習，課外指導達到對知識的理解，直到學生掌握該知識點。而高中數(shù)學的學習隨著課程開設(shè)多（有九們課學生同時學習），每天至少上六節(jié)教學課，三節(jié)自習課，這樣導致各科學習時間大大減少，而教師布置課外題量相對初中減少，這樣集中數(shù)學學習的時間相對比初中少，數(shù)學教師若像初中那樣監(jiān)督每個學生的作業(yè)和課外練習，就能達到像初中那樣讓每個學生掌握知識后再進行新課。
（2）模仿與創(chuàng)新的區(qū)別：初中學生模仿做題，他們模仿老師思維推理較多，而高中學生除了模仿做題還有推理思維，但隨著知識難度的增大和知識面的擴展，學生不能全部依靠模仿，即使學生全部模仿訓練做題，也不能開拓自我思維能力，學生的數(shù)學成績也只能是中等水平。如學生在解決：比較a與2a的大小時要不是錯，要不就答不全面，大多數(shù)學生不會分類討論。
3.學生自學能力的差異
初中學生自學能力低，大凡考試中所用的解題方法和數(shù)學思想，都是經(jīng)過初中教師已反復訓練的，老師把要自己高度深刻理解的問題，集中表現(xiàn)在他的講解和大量的訓練中，學生只需要熟記結(jié)論就可以做題（不全是），學生不需自學。但高中的知識面廣，教師要對高考中所有類型的習題進行訓練是不可能的，只有通過較少的、較典型的一兩道例題的講解讓學生自己去融會貫通該一類型習題。如果不自學、不靠大量的閱讀理解，將會使學生不知道該一類型習題的解法。另外，科學在不斷的發(fā)展，考試在不斷的改革，高考也隨著全面的改革，不斷的深入，數(shù)學題型的開發(fā)變得多樣化，近年來提出了應(yīng)用型題、探索型題和開放型題，只有靠學生的自學才能深刻理解這些類型題的真正意義，學生的創(chuàng)新才能適應(yīng)現(xiàn)代科學的發(fā)展。其實，自學能力的提高也是一個人生活的需要，它從一個方面也代表了一個人的素養(yǎng)，人的一生只有18-24年時間是有導師的學習，最精彩的是一生學習，靠自學最終達到自強自立。
4.思維習慣上的差異
初中學生由于學習數(shù)學知識的范圍小，知識層次低，知識面窄，對實際問題的思維受到了局限，就幾何來說，我們接觸的都是現(xiàn)實生活中三維空間，但初中只學了平面幾何，那么就不能對三維空間進行嚴格的邏輯思維和判斷。代數(shù)中數(shù)的范圍只限定在實數(shù)中思維，就不能深刻的解決方程根的類型等。高中數(shù)學知識的多元化和廣泛性，將會使學生全面、細致、深刻、嚴密的分析和解決問題，也將培養(yǎng)學生高素質(zhì)思維，提高學生的思維遞進性。
二、高中數(shù)學與初中數(shù)學特點的變化
1.數(shù)學語言在抽象程度上突變
初、高中的數(shù)學語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達，而高一數(shù)學一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數(shù)語言、圖象語言等。
2.思維方法向理性層次躍遷
高一學生遇到數(shù)學學習障礙的另一個原因是高中數(shù)學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生學習方便將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等，因此，初中學習中習慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導致成績下降。
3.知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增
高中數(shù)學與初中數(shù)學又一個明顯的區(qū)別是知識內(nèi)容的“量”上急劇上升，單位時間內(nèi)接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的知識時相應(yīng)地減少了。
4.知識的獨立性大
[關(guān)鍵詞]中小學；數(shù)學；解題教學
[中圖分類號]G420 [文獻標識碼]A [文章編號]1002-4808(2010)05-0038-05
美國數(shù)學家哈爾莫斯(P.P.Halmos)說： “數(shù)學的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學家、數(shù)學教育家G?波利亞(ceorge Polya)稱：“掌握數(shù)學就意味著善于解題?！绷_增儒先生認為：“數(shù)學學習中真正發(fā)生數(shù)學的地方都一無例外地充滿著數(shù)學解題活動?！睆埬诉_先生指出，“數(shù)學教育應(yīng)該以解題為中心”“解題教學正是達到教學目的的最好手段”?？梢姡跀?shù)學家、數(shù)學教育家眼里，解題和解題教學具有舉足輕重的地位。的確，在數(shù)學教育中，無論是概念的形成，定理、公式、結(jié)論的推導，還是過程、方法的探索都離不開解題教學。解題教學之所以重要與其教學功能有著極大的關(guān)系。由于解題的每一步都離不開所學的數(shù)學知識和技能，因此，解題既是對原有知識和技能的應(yīng)用，又可保持并鞏固相應(yīng)知識的記憶，提高相應(yīng)技能的熟練程度；通過解題教學還可使學生提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問題的能力、分析和解決問題的能力，因此，數(shù)學教育中解題教學幾乎成了實現(xiàn)數(shù)學教學目的的必不可少的手段。
一、解題教學是我國數(shù)學教育的重要組成部分
中國數(shù)學教學大綱、教材和課堂教學多年來都注重基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，因此也都強調(diào)解題的訓練，數(shù)學教材中提供了解題教學的例題、課堂練習和課后習題，課堂內(nèi)外都充滿了解題教學和解題訓練，中國因而常常被稱為“解題大國”。
1952年教育部頒發(fā)的《中學暫行規(guī)程(草案)》中，提出了中學的教育目標之一是使學生獲得“現(xiàn)代科學的基礎(chǔ)知識和技能”，這是我國首次明確提出數(shù)學“雙基”的教學。之后，在歷次教學大綱和教材編寫指導思想中都十分注重強調(diào)“雙基”的教學。1963年教育部頒布的《全日制中學數(shù)學教學大綱(草案)》明確指出：為了保證學生牢固地掌握基礎(chǔ)知識，具有正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和空間觀念，并且能夠靈活運用，必須切實地加強練習。 事實上，小學數(shù)學大綱和中學數(shù)學大綱一樣。同樣提出了“雙基”和加強練習的要求，重視解題教學。為了切實掌握和鞏固“雙基”，培養(yǎng)學生的三大能力，尤其是正確迅速的運算能力，教學大綱要求必須切實加強練習。因此，教學中教師大量講解例題，學生的課內(nèi)外作業(yè)幾乎都是解題訓練，解題教學成為學生理解和深化數(shù)學知識，培養(yǎng)學生技能技巧，學會數(shù)學思維方式的重要教學活動和手段，也成為了我國數(shù)學教育的重要組成部分，甚至成為我國中小學數(shù)學教育的優(yōu)勢和特色。在數(shù)學課程加強邏輯系統(tǒng)性，教學內(nèi)容崇尚邏輯嚴密的年代，中國數(shù)學教育工作者通過習題訓練的分析研究，總結(jié)出了“講深講透”“精講多練”等提高解題教學水平的方法，“變式教學”則是所謂“精講多練”方法之精髓所在。扎扎實實的解題教學尤其是針對英才的解題教學還使我國在國際數(shù)學奧林匹克競賽上自1986年以來連續(xù)15次取得了令國際矚目的佳績。由此，數(shù)學解題教學在我國數(shù)學教育中的重要地位更加明顯。
二、解題教學的一些主要問題爭鳴與反思
建國以來，我國一直重視數(shù)學解題教學。1977年之后，由于出現(xiàn)了“千軍萬馬過獨木橋”的趨勢，應(yīng)試教育開始加劇，富有中國特色的數(shù)學解題教學被異化，精講多練發(fā)展成“題海戰(zhàn)術(shù)”，解題思維教學變成解題模仿教學。人們在數(shù)學解題教學的實踐中出現(xiàn)了不同的傾向，認識上產(chǎn)生了分歧，我們把這些都作為數(shù)學解題教學中的爭鳴問題予以討論。
(一)解題教學是模仿教學，還是思維教學 在我國數(shù)學教學實踐中，對解題教學的認識并不一致，引起了解題教學行為的不同傾向：解題教學是教學生學會模仿做題?還是教學生學會思維、學會思考?這也是一直有爭議的問題。 眾所周知，行為主義、認知主義和建構(gòu)主義教學理論對數(shù)學等學科教學產(chǎn)生了很大影響。就數(shù)學解題教學而言，這些學派的教學理論影響著我國中小學數(shù)學課堂教學實踐，廣大教師對解題教學的認識也常常出現(xiàn)觀念上的不同，從而引起實際教學行為的差異，出現(xiàn)解題教學的不同傾向。那么，解題教學究竟應(yīng)該屬于模仿教學，還是屬于思維教學呢? 一種傾向：解題教學是模仿教學。 模仿教學，簡單地說，就是解題教學以教師課堂解例題為示范，學生課后模仿練習為主，把教學建立在學生的模仿性、被動性和依賴性上，實質(zhì)是一種接受學習。追溯模仿教學的起源，在教學論發(fā)展史上可以溯源到17世紀捷克教育家夸美紐斯倡導的“自然適應(yīng)”的直觀性和鞏固性教學原則，強調(diào)觀察、“模仿+記憶”的方法對學習的作用。美國心理學家奧蘇貝爾對接受學習有系統(tǒng)論述。 “模仿教學”以行為主義學習理論為基礎(chǔ)，認為解題教學就是解題教學行為上“刺激一反應(yīng)”的變化。 模仿教學對數(shù)學等學科教學實踐有很大影響，許多教師認為解題教學就是教師例題示范，學生練習模仿，課堂教學就是給學生講清解題思路與步驟，學生解題時模仿效法。持這種觀點的人們認為，中小學生具有較大的可塑性，模仿能力強，在解題教學中，不需要向?qū)W生解釋過多的道理，只要認真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學生進行模仿，就可以鞏固數(shù)學知識，掌握解題方法，實現(xiàn)解題教學的目的。特別是對低年級學生來說，由于智力發(fā)展尚未成熟，模仿是一種不可替代的解題教學方法。這里要說明的是，模仿不是生搬硬套的仿效，而是一種有意義的接受學習，模仿使學生逐漸獲得解題的基本思路、方法和技能，漸漸地由生變熟，直到駕輕就熟，達到提高解題能力的目的。因此認為，模仿是學生學會解題的一種基本方法，解題教學屬于模仿教學。 另一種傾向：解題教學是思維教學。 思維教學，是指解題教學不僅在于解題基本活動形式本身，更重要的是解題認知活動思維的產(chǎn)生，實質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)式學習。思維教學最早可以追溯到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，18世紀法國啟蒙運動思想家、教育家盧梭曾倡導發(fā)現(xiàn)教學，現(xiàn)代美國
教育心理學家布魯納則對發(fā)現(xiàn)學習有過精辟的論述。思維教學是建立在以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的認知心理學的基礎(chǔ)之上的，認為解題教學就是解題思維認知結(jié)構(gòu)的變化。 堅持解題教學是思維教學的人認為，解題教學的本質(zhì)是思維教學。第一，解題教學是解題活動的教學，而活動的本質(zhì)屬性是解題思維的活動。因此，解題教學就其本質(zhì)來說，是對解題思路的分析活動，是對解題方法的感悟與思考，是對學生解題思維活動的調(diào)動與展開，從而達到對學生理解及概括水平的培養(yǎng)。第二，解題教學是學生解題思維認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程教學。奧加涅相在《中小學數(shù)學教學法》中曾指出：“思維和解題過程的密切聯(lián)系是公認的。著名心理學家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過這種聯(lián)系：‘在心理中，思維被看作是解題活動。’雖然思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實現(xiàn)。”因此，解題教學不僅要向?qū)W生暴露“怎樣解題”的思維過程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學會解”的解題認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，教師應(yīng)盡量讓學生的解題思維活動顯性化，也就是多讓學生進行交流思考，使學生清晰地認識到自己解決問題的依據(jù)、步驟、原因和所產(chǎn)生的思維障礙。換言之，解題教學的金科玉律是達到對學生思維訓練的目的，因而，解題教學本質(zhì)上應(yīng)該是一種思維教學。 模仿教學在一線教學中較為普遍，尤其在小學和初中階段更普遍，這種解題教學的直接結(jié)果就是學生聽得懂但并不真正會解題，因為學生并沒理解為什么要這樣做，即學生不能理解解題活動的本質(zhì)，例如，當讓學生對x2+px+q進行配方時，學生卻當作方程來解或?qū)ζ溥M行因式分解，“只能就題論題地掌握某具體活動的外部操作方式”。模仿教學長此以往將會削弱學生學習技能內(nèi)化的質(zhì)量，阻礙學生思維品質(zhì)的提高，究其緣由是對解題教學的本質(zhì)與功能缺乏深刻認識所致。 “模仿+記憶”的套路式的解題教學適應(yīng)于學習的初始階段，盡管模仿教學能適應(yīng)考試，但模仿教學是一種機械學習，不能創(chuàng)新，不能作為一種模式持久下去。
在素質(zhì)教育觀下解題更應(yīng)有解題理解，獲得對數(shù)學解題認知思維結(jié)構(gòu)的認識，獲得對解題思想方法的元認知認識，如解題思維過程：用什么方法去做?為什么要用這個方法?是否還有更好的方法?哪一種方法最優(yōu)?等等。這實際是獲得對解題認知活動的元認知?！皵?shù)學是思維的體操”，解題教學應(yīng)當教會學生數(shù)學思考，培養(yǎng)學生自主、合作、探究的學習方法，這才是解題教學的根本目的。
(二)解題教學是堅持“題海戰(zhàn)術(shù)”，還是倡導“精講精練” 解題教學方法是指數(shù)學解題教學活動的具體實現(xiàn)方式， “題海戰(zhàn)術(shù)”與“精講精練”是實施解題活動的兩種基本對立的形式。從方法論的角度來看，兩種方法的不同不僅在于解題量的“多”與“少”的問題，而且反映兩種不同的數(shù)學教育觀、解題教學觀和解題觀的問題，實質(zhì)反映了數(shù)學解題教學的一個根本性的有爭鳴的認識問題：數(shù)學解題教學是要做大量的題，還是只需做少量的題?
一種傾向：解題教學應(yīng)當堅持“題海戰(zhàn)術(shù)”。
題海是客觀存在的課程資源，題海戰(zhàn)術(shù)就是讓學生做大量的題，熟悉各種題型及其解法。堅持解題教學是“題海戰(zhàn)術(shù)”的教師認為： “題海戰(zhàn)術(shù)”對提高學生的能力有一定的積極作用。 “題海戰(zhàn)術(shù)”既是我國傳統(tǒng)文化的傳承，更是我國解題教學的法寶。我國古代提倡的“熟能生巧”“拳不離手，曲不離口”“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”的古訓都顯示了大量訓練對學習的重要性。我國學生多次在國際性評估中成績名列前茅的事實，從正面肯定了我們的傳統(tǒng)做法：大量數(shù)學習題訓練和經(jīng)常性測驗考試，是提高成績的有效途徑。不少教學質(zhì)量較高的學校，尤其是高考升學率高的學校，成績優(yōu)秀的學生，甚至多屆全國高考狀元，在談到成功的經(jīng)驗時，都對“題海戰(zhàn)術(shù)”抱以肯定的態(tài)度。根據(jù)行為主義理論，人類的學習行為是操作性條件反射的結(jié)果，是教學環(huán)境的刺激和學習行為反應(yīng)之間的聯(lián)接，它隨練習次數(shù)的增多而加強。因此，在解題教學中，學生不涉入“題海”，不經(jīng)過足夠的訓練，是不可能真正掌握解題方法和解題思路的，解題能力也是難以提高的。大多數(shù)一線教師在教學實踐中感觸頗深，學生只有通過大量的做題訓練，才能加深對數(shù)學知識的理解和掌握，才能提高解題技巧和答題速度。因此認為， “題海戰(zhàn)術(shù)”對于解題教學，是非常必要的，應(yīng)該堅持。
另一種傾向：解題教學應(yīng)當倡導“精講精練”。
“精講精練”與“題海戰(zhàn)術(shù)”相對立， “精講”在德國教育家瓦根舍因“范例教學”的教學論思想中也有體現(xiàn)，意指教師在解題教學中要選擇真正基礎(chǔ)的本質(zhì)的知識作為解題教學內(nèi)容，通過“范例”內(nèi)容的講授，使學生達到舉一反三掌握同一類知識規(guī)律的方法?！熬殹钡暮x與“精講”相得益彰，堅持解題教學應(yīng)當“精講精練”，符合波利亞數(shù)學解題思想。波利亞反對讓學生做大量的題，認為一個數(shù)學教師，“如果把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生，他就扼殺了學生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展……”。換言之，與其讓學生做大量的反復性的題目，還不如選擇一個體現(xiàn)多種思想方法功能的又不太復雜的題目去幫助學生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面，使學生通過這道題目，獲得對數(shù)學解題思想與方法的認識。 “精講”的目的在于促使學生獨立學習，而不是要學生被“填鴨式”地灌輸知識，要使學生所學的知識能夠遷移到其他方面，進一步發(fā)展新的學習知識。同時“精練”也不是“不練”，而是“練”要有尺度，體現(xiàn)度和量的有機統(tǒng)一。因此，解題教學應(yīng)當倡導“精講精練”。 我國數(shù)學解題教學長期倡導“精講多練”，但“多練”的度難以把握，在應(yīng)試教育的氛圍下，多練常被異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”?！邦}海戰(zhàn)術(shù)”的本質(zhì)是要做大量的題，以達到“熟能生巧”的目的。“題海戰(zhàn)術(shù)”是應(yīng)試教育的產(chǎn)物，目前，在片面追求升學率的影響下，扎扎實實地進行著“題海戰(zhàn)術(shù)”式的強化訓練在中小學常見，表現(xiàn)為，為應(yīng)付各類考試，教師們讓學生進行著大量反復的題型、題組訓練，以期從量變到質(zhì)變，達到考試得高分的目的?？荚囋囶}是“題海戰(zhàn)術(shù)”的風向標，由于中考、高考中時有偏題、怪題出現(xiàn)，數(shù)學教學實踐中，忽視傳統(tǒng)題常規(guī)題的典范作用及“雙基”的訓練，忽視思維過程的教學，而一味追求解題的新、奇、巧，追求偏題怪題的現(xiàn)象普遍存在。這樣，師生在題海中越陷越深，“題海戰(zhàn)術(shù)”越演越烈，最終導致在課堂上數(shù)學教學演變?yōu)榧兘忸}教學，解題教學則被異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”。
“題海戰(zhàn)術(shù)”是與應(yīng)試教育相伴而生的一種教育現(xiàn)象，“題海戰(zhàn)術(shù)”從出現(xiàn)至今就一直存在爭議，其根源在于教育考試制度的弊端。 “題海戰(zhàn)術(shù)”加重學生的學習負擔，不利于學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)，并且損害學生身心健康，這是與數(shù)學素質(zhì)教育背道而馳的。我們應(yīng)當清醒地認識其危害性，積極
進行解題教學改革，提高解題教學效益，應(yīng)當倡導數(shù)學解題教學素質(zhì)教育教學目標，在解題教學中大力推進實施“精講精練”，把學生和教師從題海里解放出來，使數(shù)學素質(zhì)教育得到真正落實。從多練到精練不僅有認識觀點上的激烈碰撞，還有教學方法的重大改革，還需進行積極探索。
(三)解題教學中應(yīng)用題教學是否應(yīng)當劃分問題類型
建國以來，應(yīng)用題一直是我國中小學數(shù)學的重要教學內(nèi)容，在教材中具有極其重要的位置。解放初期，我國各行業(yè)百廢待興，“向蘇聯(lián)學習”成為當時的重要選擇。1952年頒布的建國后第一個教學大綱，遵循了“對蘇聯(lián)大綱的內(nèi)容和體系一般不做大的改動”“先搬過來后中國化”的指導思想，以當時蘇聯(lián)初等學校教學大綱為藍本編制而成，對應(yīng)用題劃分類型的做法隨之從蘇聯(lián)傳入我國。在1956年修訂大綱中，應(yīng)用題類型名稱又被一一列出，如歸一問題、倍比問題、相遇問題、植樹問題、工程問題、行程問題等。
自應(yīng)用題類型名稱在我國出現(xiàn)后，圍繞這個問題的爭鳴便沒有間斷過，特別是20世紀80年代曾開展過大討論，并出現(xiàn)了截然不同，甚至是完全對立的觀點。
一種傾向：應(yīng)用題教學不應(yīng)劃分問題類型。
堅持應(yīng)用題教學不應(yīng)劃分問題類型的教師認為：教師在教學中，把各種應(yīng)用題劃分為不同的問題類型，致使應(yīng)用題教學“模式化”。學生把學習的重點放在死記硬背問題類型、生搬硬套解題程序上。學生做題時，往往是首先辨別問題類型，然后模仿解題套路，而較少對其中的算理進行深入思考。長此以往，將會嚴重阻礙學生思維的發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。特別是，在應(yīng)試教育的影響下，教師為了讓學生牢固掌握各種類型的應(yīng)用題，常會采用“題海戰(zhàn)術(shù)”的做法，布置大量的不同類型的應(yīng)用題，不僅加重學生的學業(yè)負擔，更易導致學生產(chǎn)生厭學情緒，更何況有些應(yīng)用題是根本不能劃分類型的。因此，應(yīng)用題教學不需要劃分問題題型。
另一種傾向：應(yīng)用題教學應(yīng)該劃分問題類型。
堅持應(yīng)用題教學應(yīng)該劃分問題類型的教師認為：數(shù)學本來就是一門關(guān)于模式的科學。把應(yīng)用題分為不同的問題類型，可以讓學生從總體上把握應(yīng)用題的概貌，辨析各類應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征，把握各種題型的解題方法。對應(yīng)用題劃分不同類型，不僅有利于發(fā)展學生的抽象概括能力，而且可以提高解題速度。再者，典型類型的應(yīng)用題是各種較復雜應(yīng)用題的組成部分。只有掌握了典型類型的應(yīng)用題，才能更好地解決各種不同的應(yīng)用題。總之，把應(yīng)用題劃分為不同問題類型，對于教師的教和學生的學都是非常有益的。我們何樂而不為呢!
在應(yīng)用題教學中，把應(yīng)用題劃分為不同問題類型，既有利，也有弊。我們認為，應(yīng)用題教學的目的不僅僅是讓學生鞏固數(shù)學知識和解決特定類型的應(yīng)用題，重點是培養(yǎng)學生獨立的分析問題、解決問題的能力。在現(xiàn)實生活中，有些實際問題難以劃歸為哪種問題類型，要解決這樣的問題，學生只能認真分析題意，挖掘題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，尋找解題思路，從而得到問題的答案。如果教師在教學中過于重視應(yīng)用題分類教學，那么學生對難以說清屬于哪類問題類型的題目將很不適應(yīng)，甚至是束手無策。所以，對于應(yīng)用題教學，我們的觀點是，應(yīng)用題教學可以作為讓學生了解介紹一點應(yīng)用題的問題類型，但是不應(yīng)過于關(guān)注應(yīng)用題的問題類型。應(yīng)用題解題教學時要通過認真分析題意，探尋題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，重點放在學生分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)上。
(四)解題教學中“問題解決”是否應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學
在國際數(shù)學問題解決潮流進入我國之后，國內(nèi)數(shù)學教育方面的專家學者為了讓我國數(shù)學解題教學擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”的困境，大力提倡“問題解決”。隨著素質(zhì)教育的推進，特別是在新課程改革背景下，數(shù)學教育的觀念、教學內(nèi)容和教育方法都發(fā)生了深刻的變化，傳統(tǒng)解題教學更是成為眾矢之的，遭到許多人的指責， “問題解決”教學大有替代傳統(tǒng)的解題教學之勢。在這一背景下，對于“問題解決”是否應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學出現(xiàn)了不同的看法。
一種傾向： “問題解決”教學應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學。
傳統(tǒng)解題教學中面對的題目往往是一些人為編造的、屬于特定類型的題目，它們具有接受性、封閉性和確定性等特征，其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的，答案確定、條件不多不少，解題的過程只是套題型之后的“算法化”。傳統(tǒng)解題教學的題目更多的是培養(yǎng)學生學習程序化的規(guī)律性的東西，對學生思維的訓練作用大打折扣。社會的進步要求人們具有現(xiàn)代化的數(shù)學修養(yǎng)，具有發(fā)現(xiàn)、提取、分析和處理信息的能力。從這個角度來看，原來的傳統(tǒng)解題教學極不適應(yīng)現(xiàn)代社會所必需的收集處理信息數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)和提出問題、合情推理以及估計意識、應(yīng)用意識、運籌和優(yōu)化意識、創(chuàng)新意識等各種能力要求，極不利于國家創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。因此一些人認為，問題解決教學應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學。
另一種傾向：“問題解決”教學不應(yīng)替代傳統(tǒng)解題教學。
關(guān)鍵詞：選填題 分類 解題策略
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0076-01
數(shù)學問題千變?nèi)f化，但是萬變不離其宗，因為數(shù)學問題都是命題者為達到某種檢查目的而編制的，命題思想必然在題型上反映出來。我們在審題的時候，如果能針對問題的類型，提出相應(yīng)的策略，就是一種很強的數(shù)學能力。
按照編制特點與檢查功能，選填題大致可分為下面三種類型。
1 基本技能題
基本技能題主要是檢查學生對數(shù)學概念與公式法則的正確理解、簡單運用以及基本推理能力和基本運算能力，基本技能題是考試中選填題的主要類型。下面是一道基本技能題：
給出下面三個命題：
（1）有兩個面平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱。
（2）有兩個側(cè)面垂直底面的棱柱是直棱柱。
（3）底面是正三角形，且每個側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐。
則其中正確的命題有（ ）。
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
問題是典型的概念題，正確解答概念題，需要對問題所涉及到的概念有準確的理解。比如命題（1），首先了解“棱柱”的概念，然后將命題中的語句與定義中的語句進行比較，判斷兩者之間是否等價。只有經(jīng)過嚴謹思考才能判定“其余的各個面都是平行四邊形”與定義中的“其余的各個面都是平行四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”不是等價說法，因為后者還要求所有平行四邊形都順次排成一圈。在命題（2）中“有兩個側(cè)面垂直底面”與“側(cè)棱垂直底面”的定義并不等價，如果命題改為“兩個相鄰側(cè)面垂直底面”才與定義完全等價。在命題（3）中“三個側(cè)面都是等腰三角形”與定義中的“頂點在底面的射影是底面中心”也不等價，因為等腰三角形的腰不一定是側(cè)棱，故問題應(yīng)選A。
解答概念題需要嚴密思維，對命題與概念都要逐字逐句反復琢磨，稍有疏忽就會失分。
2 方法題
“方法型”選填題是經(jīng)命題者有意編制，需要用某種特殊方法完成的題型。這種題型又包含兩種形式，有些命題可以直接用基本方法解答，但難度較大，甚至可能超過規(guī)定時間的數(shù)倍，若用特殊方法求解則可輕而易舉得到結(jié)果。另一種情況是命題無法直接求解，必須考慮特殊方案。在解選填題中常用的方法是：篩選法、檢驗法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合、歸納、換元、轉(zhuǎn)換命題等。下面選編了一組典型的方法題：
問題1：若，，，，
則之間的大小為（ ）。
A. B.
C. D.
問題2：函數(shù)的最小值是_____，最大值是____。
在上述兩個問題中，1可作為“基本技能題”進行求解，但過程比較復雜。針對問題1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可對，與比較大小，但是很費時間。這時用兩個特殊值代入就很簡便，比如令，，易得：，，因此選A。但必須注意：如果四個選擇支中有不確定的答案，絕對不可使用特殊值法。
對于問題2，似乎很難下手，這種情況下，一般都要采取特殊方法。注意到問題3中函數(shù)的定義域為4≤≤5，令（≤≤）。換元后，函數(shù)變?yōu)?，由≤≤，可得，?/p>
3 陷阱題
“陷阱題”是命題者精心設(shè)計的一種題型。這種題型以選擇題為主，編題時常常在選擇支中設(shè)置一些似是而非的答案，如果基本功不扎實，思維不夠嚴密，就很難逾越這些陷阱。
編制“陷阱題”主要抓住一些很容易疏忽的數(shù)學內(nèi)容，比如：函數(shù)極值、方程求解、三角求值等問題。請看下面的例子：
若，為常數(shù)，，為變量，，，，都是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）。
A. B.
C. D.
對于該問題，很容易得到下面的解法：
=（）（+）≥?，因此答案B將很多學生給蒙騙了?！跋葳濉盉的作用主要是激緒上的興奮，只有思維很嚴密的學生才會考慮到必須檢驗等號是否成立。事實上，B的答案是達不到的，必須調(diào)整做法：=（）（）=++≥，經(jīng)驗證等號可以成立。故應(yīng)選A。
“陷阱題”雖然比較難對付，但熟悉了這種題型的特征，再通過選填題的訓練，思考問題嚴謹了，掉入“陷阱”的可能性就會越來越小。
綜上所述，我們對數(shù)學選填題的基本類型與解題策略做了一些討論，解決一道較困難的數(shù)學問題可以用基本解法、變換解法以及構(gòu)造解法等。在所有的解法中，最重要的還是基本解法。平時做題應(yīng)多考慮基本解法，功底深厚了，再去探索一些好的思路，不斷提高變換、構(gòu)造及抽象思維能力，才能在考場中神機妙算，迅速制定出最佳方案。
參考文獻
一、小學數(shù)學課堂提問的主要特征及類型
1.小學數(shù)學課堂提問的主要特征
對于小學的數(shù)學課堂提問而言，不僅是有課堂提問的特征，還要能夠反映小學數(shù)學的學科特征，其中最為主要的特征就是問題的設(shè)置有著很強的層次性，這一特點的顯示主要就是對小學數(shù)學思維特點的程度進行的反映。小學數(shù)學課堂提問的內(nèi)容是由教學的內(nèi)容直接決定的，所以能夠?qū)⑿W數(shù)學課堂提問氛圍分為低層次認知提問和高層次認知提問，其中在低層次認知提問方面主要就是知識層次的提問和理解層次的提問一會應(yīng)用層次的提問。
2.小學數(shù)學課堂提問的類型
按照提問的信息交流方式進行對其加以分類，能夠分為泛指式提問以及反詰式提問和特指式提問等。還有就是根據(jù)老師的發(fā)問方式以及作用進行分類，能夠?qū)⑵浞譃檫x擇式提問和查考式提問等，按照課堂的提問具體方式能夠分為直問以及曲問，快問以及慢問等提問類型。總之，針對多種的提問方式在具體的應(yīng)用過程中要能夠遵循實際情況加以實施，這樣才能夠達到提問的真正效果。
二、小學數(shù)學課堂提問策略實施原則及具體策略實施
1.小學數(shù)學課堂提問策略實施原則
對小學數(shù)學課堂提問策略實施的過程中，要能夠遵循相應(yīng)的原則，這樣才能夠?qū)⑵渥饔玫玫匠浞值陌l(fā)揮。首先要遵循突出重點難易適度的原則，由于小學生自身的思維意識還沒有成熟，所以要能夠在提問的難易上得到有效把控，要能夠適合這一階段學生的思維能力。
2.小學數(shù)學課堂提問教學策略具體實施
通過對小學數(shù)學課堂提問教學情況的了解，要對提問的策略實施從多方面進行著手，每一個環(huán)節(jié)都要能夠進行合理化的設(shè)計。要精心對提問的問題加以設(shè)計，保證提問的科學性，根據(jù)小學數(shù)學課程標準進行提問設(shè)計。新課程標準對每節(jié)課的教學重點和難點都有著相應(yīng)的規(guī)定，故此老師要對其問題的設(shè)計結(jié)合課程標準進行。在具體的設(shè)計策略上可通過抓住盲點進行對問題設(shè)計，這里的盲點就是正常思維當中不易被注意，而在運用過程中對學生的正確思維能夠產(chǎn)生影響的問題。
例如：在小學數(shù)學課程中的質(zhì)數(shù)以及分解質(zhì)因數(shù)和合數(shù)的講授過程中，在學生明白了質(zhì)數(shù)以及合數(shù)的相關(guān)理論概念之后，就可對學生進行提問，“‘1’是什么數(shù)？”很快就會有學生回答是“質(zhì)數(shù)”。然后繼續(xù)進行追問，“1”除了自身有無別的約數(shù)？通過這樣的提問，就能夠很快讓學生明白，“1”既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)，這樣就達到了對盲點問題的解決，對學生的思維廣度起到了有效拓展。
再者，還可和學生的認知規(guī)律對問題進行設(shè)計，以及通過和因材施教的原則相結(jié)合進行問題的設(shè)計，這些方法的使用都能夠?qū)⒄n堂提問的效率得到有效提升。教師在實際的提問過程中，要對問題的提問層次進行重視，要考慮到不同層次學生的發(fā)展情況。針對一些基礎(chǔ)性以及綜合體的提問主要就是對教學效果的鞏固，這些問題要考慮中等成績的學生，設(shè)計問題難度不能太大，要能夠使學生在認真的復習以及思考的情況下可以回答上來，這對中等成績的學生在學習的自信上有著重要幫助。
例如：在講解圓的周長公式這一課程當中，學生對周長公式有了理解之后，可以讓成績中等的學生嘗試解決“倘若是知道圓的直徑之后，怎么能夠求取其周長”，然后對成績比較優(yōu)秀的同學進行提問“一個圓假如只是告知了半徑，那么對這一圓的周長怎么求取”，這樣能夠?qū)Σ煌膶W生有層次的進行提問，可以兼顧到不同程度的學生。
另外，還可以通過模糊點對問題加以設(shè)計，小學數(shù)學的知識點有的比較容易混淆，所以針對這一情況就需要進行問題的科學設(shè)計，讓學生能夠明確地將知識點進行區(qū)分。例如：對“最大公約數(shù)以及最小公倍數(shù)”進行求取過程中，對問題進行設(shè)計，采取列表比較的方法求取兩數(shù)的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)的方法，這樣能夠提高學生的思維嚴謹性和精確性，對實際問題的解決有著重要幫助。
一、用數(shù)學圖形說明地理概念
第一，用結(jié)構(gòu)圖表說明反映比例關(guān)系的有關(guān)概念，主要有扇形圖、餅狀圖、柱形圖、矩形圖等。如構(gòu)成概念，就可先出示扇形統(tǒng)計圖，然后由圖形說明構(gòu)成，即某地理事物各個組成部分所占的百分比，其總量為1。
例如，中國各種地形的構(gòu)成比例。由右圖可直觀得出我國地形特點之一：地形多種多樣，山區(qū)面積廣大。
類似的概念，如地球大氣的組成、地殼的物質(zhì)組成、能源消費構(gòu)成、農(nóng)業(yè)產(chǎn)值構(gòu)成、工業(yè)產(chǎn)值構(gòu)成、產(chǎn)業(yè)構(gòu)成、人口構(gòu)成等，形象地說明了各組成部分間的相對比例關(guān)系。再如，我國水能蘊藏量的地區(qū)分布構(gòu)成、世界石油主要分布區(qū)的儲量構(gòu)成、主要石油產(chǎn)區(qū)的產(chǎn)量構(gòu)成等，用圖形形象地從局部與整體的角度說明了某一地理事物大致的空間分布。通過數(shù)學圖形與地理語言相結(jié)合，深化了對地理概念的理解。在講解地理概念時，應(yīng)注意對概念下定義要準確，概念的內(nèi)涵和外延應(yīng)講明白，同時要引導學生總結(jié)出概念之間的關(guān)系。
第二，用坐標圖反映地理事物的變化規(guī)律，如人口再生產(chǎn)類型的轉(zhuǎn)變。它的決定因素為出生率、死亡率和自然增長率。如果教學中借助了人口增長模式及其轉(zhuǎn)變示意圖，理解起來就容易多了。
根據(jù)以上示意圖可提出以下幾個問題進行學習：
（1）原始型向傳統(tǒng)型轉(zhuǎn)變時、傳統(tǒng)型向現(xiàn)代型轉(zhuǎn)變時的人口自然增長率分別是多少？
（2）描述三種人口增長模式的基本特征。
（3）人口增長模式的轉(zhuǎn)變是由什么的降低開始的？最終是由什么的降低實現(xiàn)的？
二、利用幾何知識得出地理原理與結(jié)論
幾何圖形是空間思維的重要表示方法。地理學科空間概念強，經(jīng)常用幾何圖形來表示空間地理事物，如地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)示意圖、地球光照圖等。因此，在地理教學中，許多可以將地理事物關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，利用幾何方法突破了教學難點，起到了事半功倍的效果。既有利于突破重難點、使學生加深對知識的理解，同時還可培養(yǎng)學生空間思維能力和讀圖、解圖的能力。例如，利用幾何圖形認識太陽直射點的回歸運動所引起的變化。
從右面簡單的光照圖中可以得到：太陽直射點的緯度（ ）與晨昏線和經(jīng)線夾角（ ）以及AN兩點的緯度差是相等的。可以想象，當變化時會帶動與AN緯度差的變化?？梢?，當太陽直射點從赤道向北回歸線移動過程中，太陽直射點的緯度（ ）變大，伴隨著晨昏線與經(jīng)線夾角（ ）也增大，南北半球的極晝、極夜范圍也在擴大；晝夜差值（ED）也在增大。反之亦然。
太陽直射點的回歸運動所引起的變化是高中地理的一個重點，也是一個難點。它對空間思維能力要求較高，學生學習起來較為吃力。在講解該內(nèi)容時，利用上述幾何圖形引導學生借用數(shù)學方法求證，同時結(jié)合動畫演示，讓學生自己總結(jié)出晝夜長短產(chǎn)生的原因及其規(guī)律。這樣既能讓學生輕松理解難點知識，還可以幫助學生對重點知識的記憶。
三、用數(shù)字圖表定量說明地理事物的特征與相互關(guān)系
中學地理教學中存在大量的地理數(shù)字。地理數(shù)字是地理知識的重要組成，能說明地理事物的特征及其相互關(guān)系。應(yīng)用圖表將地理數(shù)字形象化、規(guī)律化，既能吸引學生注意力，提高學習興趣，還能幫助學生認識地理事物和現(xiàn)象的本質(zhì)，形成分析和判斷能力。同時，很多地理高考試題都利用地理圖表進行立意，這樣既能考查學生對有關(guān)知識的掌握，又可以有效地考查學生有關(guān)地理能力的形成情況。所以，地理圖表的學習越來越引起更多的關(guān)注。
例如，在講述世界氣候類型的判斷時，先讓學生根據(jù)有關(guān)氣候類型的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，從氣溫方面比較、歸納不同氣候帶的差別，然后從降水量上進行比較得出同一氣候帶內(nèi)不同氣候類型的差別，建立進行氣候類型判別的最基本的依據(jù)，掌握進行氣候類型判別的最基本的方法，為以后進行準確的分析、判斷提供前提。
教學技能是一種教學的行為方式，所以具有鮮明的實踐性和可操作性.教學技能可分為以下幾種類型：導入技能、提問技能、講解技能、語言技能、板書與演示技能、結(jié)束技能.那么這些技能如何在數(shù)學課中發(fā)揮的淋漓盡致呢？以下將重點論述這一問題.
一、導入技能
俗話說“良好的開端是成功的一半”.教學過程開始的導入環(huán)節(jié)就好像整臺戲的序幕，也仿佛是優(yōu)美樂章的序曲，如果設(shè)計和安排得當，就能牽引整個教學過程，收到先聲奪人、一舉成功的奇效.常用的導入方式有：1、直觀啟示法2、教具演示法3、問題啟示法4、實驗導入法5、巧設(shè)懸念法6、創(chuàng)設(shè)情境法7、揭示矛盾法8、練習引導法9、溫故知新法10、類比導入法.
二、提問技能
提問的目的在于調(diào)動全體學生積極的思維活動，不應(yīng)該置大多數(shù)學生于不顧而形成“一對一”的問答場面.有的教師先點名，然后提問，其他學生因預知提問與己無關(guān)而袖手旁觀，不動腦思考，以致達不到提問的整體效果.下面是一位中學特級教師的課堂教學過程，從中我們可以看到一個好的教師在提問方面的設(shè)計與實施上所表現(xiàn)出的高超技藝.
課題：“無理方程的解法”
教師：請同學們考慮這樣一個問題：有一塊直徑為5厘米的半圓形鐵板，以直徑為斜邊，怎樣能截出一個面積為6平方厘米的直角三角形形狀的零件毛壞？（讓學生思考片刻，接著講解）設(shè)一條直角邊為x，則另一條直角邊為 =6厘米，因為直角三角形面積為6平方厘米，所以可列方程 x =6.這是什么方程呢？是我們以前學過的方程嗎？
學生竊竊私語：這是一元二次方程？是一元……但很快都否定了.）
由此可見提問對于督促學生掌握知識和基本技能是必不可少的.我們可以把數(shù)學提問技能分成回憶型、理解型、應(yīng)用型和評價型四種.提問的基本過程為：引入――陳述――介入――評價.在提問中要注意以下要點：
（1）提問要有序列（2）提問的內(nèi)容要有“度”（3）提問要有藝術(shù)
（4）提問要注意對象（5）提問要具有啟發(fā)性（6）提問要把握時機
（7）要給學生思考時間（8）反應(yīng)要及時
應(yīng)當指出，教學中的質(zhì)疑提問，不只是教師單方面的事.教師在教學中要鼓勵和教會學生善于質(zhì)疑，提出問題.要重視課堂提問的雙邊性.教師既要有問題信息的輸出，又要得到學生回答問題的信息反饋；學生同樣也應(yīng)有問題的輸出和輸入.只有通過雙方信息的交流才能得到課堂教學的最佳信息值.
三、講解技能
講解技能是指教師利用語言及各種教學媒體引導學生理解教學事實，形成概念，掌握定理、公式、法則的教學行為方式.數(shù)學的講解以教學語言（符號語言）為載體，其實質(zhì)在于揭示知識結(jié)構(gòu)及要素.講解的目的是為了傳授知識、啟發(fā)學生思維、激發(fā)學生興趣.根據(jù)教師的講授方式又可將講解分為以下幾種基本類型.
1、解釋型講解
一般用于概念的定義，題目的分析，事實的理解，公式的說明，符號的翻譯等
2、描述性講解
主要用于事實的陳述、概念的描述和結(jié)論的闡述，也運用于較為抽象知識的描述.例如，在講授正方形的定義后，老師以這樣來向?qū)W生講解.
正方形的定義有三個要點：①必須是平行四邊形；②有一個角是直角；③有一組鄰邊相等.其中①和②是矩形定義的條件，所以正方形是一種特殊的矩形――一組鄰邊相等的矩形，也就是說，正方形又屬于菱形――有一個角是直角的菱形，也就是說，正方形又屬于菱形集合；矩形、菱形和正方形又都是特殊的平行四邊形，也就是說，它們都屬于平行四邊形的集合；平行四邊形、矩形、菱形和正方形都是四邊形，也說是說，它們都屬于四邊形的集合.
通過以上的講解，不僅加深了對各種特殊平行四邊形概念的理解，把所學的知識系統(tǒng)化，而增強了整體意識，有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性和求異思維，從而提高學生的辯證思維能力.
3、推論型講解
即運用分析、綜合、歸納、演繹、比較、類比、抽象、概括等邏輯方法對數(shù)學知識進行推理論述，在推導過程中還要提供有力的證據(jù)和材料，才能得出結(jié)論由于數(shù)學科學本身是一種演繹的科學，所以數(shù)學課的講解多屬于推論型講解.
4、證明型講解
證明是對已有的結(jié)論成立提供證據(jù)，講行推理.證明型講解在教學（尤其是幾何）課上普遍使用.
5、總結(jié)型講解
這是一種對知識內(nèi)容進行提煉概括、歸納小結(jié)式的講解，它通過簡明扼要、提綱挈領(lǐng)的語言，畫龍點睛地講出內(nèi)容的結(jié)論和重點，使學生對剛學到的知識內(nèi)容有更加完整、更為深刻的印象.
四、語言技能
語言是人類心理活動的主要載體，是教師進行教學片刻不能分離的重要工具.中對教學語言藝術(shù)有過“善歌者使人繼其聲，善教者使人繼其志.其言也，約而達，微而臧，罕譬而喻，可謂繼志矣”的精彩論斷.現(xiàn)代教育史上一代宗師葉圣陶曾著文呼吁：“凡是當教師的人，絕無例外地要學好語言，才能做好教學工作.”對于數(shù)學而言，語言的價值就顯得更為重要.數(shù)學語言是一種由數(shù)學符號、數(shù)學術(shù)語經(jīng)過改造的自然語言組成的科學語言，它的突出特點是大量符號的應(yīng)用這使得數(shù)學世界成為一個符號化的世界.數(shù)學語言的基本特征是確定性、簡潔性、抽象性靈活把握它的特征可以有效的在實際教學中應(yīng)用.
語言技能實施的基本要求是
1、準確簡練，具有科學性
2、生動活潑，具有形象性
3、含蓄深刻，具有啟發(fā)性
4、抑揚頓挫，具有和諧性
五、板書與演示技能
板書是教師教學的基本技能之一.一個教師的基本功如何，在很大程度上決定了他的課堂教學的效果.對于數(shù)學課堂教學而言，板書技能具有以下幾種功能：
1、 增強語言效果，加深學生理解
2、 突出重點，強化記憶
常用的類型有以下幾種：
1、 實物標本、模型的演示2、掛圖的演示3、幻燈、投影的演示
3、 多媒體演示5、課堂實驗的演示
當然，演示的目的是為教學服務(wù)的，是使學生通過感性認識上升為理性認識，所以必須引導學生及時對觀察演示所得到的直觀印象進行思維整理，這就需要教師運用講解、設(shè)問、講述等講授方式幫助學生抓住現(xiàn)象的本質(zhì).教師的語言不需多，但要起到“畫龍點睛”的作用.
六、結(jié)束技能
