發(fā)布時間：2022-05-19 11:18:57
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學(xué)研究論文樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的組成部分，恰到好處的習(xí)題，不僅能鞏固知識，形成技能，而且能啟發(fā)思維，培養(yǎng)能力。在教學(xué)過程中，除注意增加變式題、綜合題外，適當設(shè)計一些開放型習(xí)題，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性，克服學(xué)生思維的呆板性。
一、運用不定型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性
不定型開放題，所給條件包含著答案不唯一的因素，在解題的過程中，必須利用已有的知識，結(jié)合有關(guān)條件，從不同的角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。
如：學(xué)習(xí)“真分數(shù)和假分數(shù)”時，在學(xué)生已基本掌握了真假分數(shù)的意義后，問學(xué)生：b／a是真分數(shù)，還是假分數(shù)？因a、b都不是確定的數(shù)，所以無法確定b／a是真分數(shù)還是假分數(shù)。在學(xué)生經(jīng)過緊張的思考和激烈的爭論后得出這樣的結(jié)論：當b＜a時，b／a為真分數(shù)；當b≥a時，b／a是假分數(shù)。這時教師進一步問：a、b可以是任意數(shù)嗎？這樣不僅使學(xué)生對真假分數(shù)的意義有了更深刻的理解，而且使學(xué)生的邏輯思維能力得到了提高。
又如，學(xué)習(xí)分數(shù)時，學(xué)生對“分率”和“用分數(shù)表示的具體數(shù)量”往往混淆不清，以致解題時在該知識點上出現(xiàn)錯誤，教師雖反復(fù)指出它們的區(qū)別，卻難以收到理想的效果。在學(xué)習(xí)分數(shù)應(yīng)用題后，讓學(xué)生做這樣一道習(xí)題：“有兩根同樣長的繩子，第一根截去9／10，第二根截去9／10米，哪一根繩子剩下的部分長？”此題出示后，有的學(xué)生說：“一樣長?！庇械膶W(xué)生說：“不一定。”我讓學(xué)生討論哪種說法對，為什么？學(xué)生紛紛發(fā)表意見，經(jīng)過討論，統(tǒng)一認識：“因為兩根繩子的長度沒有確定，第一根截去的長度就無法確定，所以哪一根繩子剩下的部分長也就無法確定，必須知道繩子原來的長度，才能確定哪根繩子剩下的部分長。”這時再讓學(xué)生討論：兩根繩子剩下部分的長度有幾種情況？經(jīng)過充分的討論，最后得出如下結(jié)論：①當繩子的長度是1米時，第一根的9／10等于9／10米，所以兩根繩子剩下的部分一樣長；②當繩子的長度大于1米時，第一根繩子的9／10大于9／10米，所以第二根繩子剩下的長；③當繩子的長度小于1米時，第一根繩子的9／10小于9／10米，由于繩子的長度小于9／10米時，就無法從第二根繩子上截去9／10米，所以當繩子的長度小于1米而大于9／10米時，第一根繩子剩下的部分長。
這樣的練習(xí)，加深了學(xué)生對“分率”和“用分數(shù)表示的具體數(shù)量”的區(qū)別的認識，鞏固了分數(shù)應(yīng)用題的解題方法，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性，提高了全面分析、解決問題的能力。
二、運用多向型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性
多向型開放題，對同一個問題可以有多種思考方向，使學(xué)生產(chǎn)生縱橫聯(lián)想，啟發(fā)學(xué)生一題多解、一題多變、一題多思，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。
如：甲乙兩隊合修一條長1500米的公路，20天完成，完工時甲隊比乙隊多修100米，乙隊每天修35米，甲隊每天修多少米？
這道題從不同的角度思考，得出了不同的解法：
1、先求出乙隊20天修的，根據(jù)全長和乙隊20天修的可以求出甲隊20天修的，然后求甲隊每天修的。
算式是（1500－35×20）÷20
2、先求出乙隊20天修的，根據(jù)乙隊20天修的和甲隊比乙隊多修100米可以求出甲隊20天修的，然后求甲隊每天修的。
算式是：（35×20＋100）÷20
3、可以先求出兩隊平均每天共修多少米，再求甲隊每天修多少米。
算式是：1500÷20－35
4、可以先求出甲隊每天比乙隊多修多少米，再求甲隊每天修多少米。
算式是：100÷20＋35
5、假設(shè)乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，然后求兩隊每天修的，再求甲隊每天修的。
算式是：（1500＋100）÷20÷2
6、假設(shè)乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，然后求甲隊20天修的，再求甲隊每天修的。
算式是：（1500＋100）÷2÷20
7、假設(shè)乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，也就是甲隊（20×2）天修的，由此可以求出甲隊每天修的。
算式是：（1500＋100）÷（20×2）
然后引導(dǎo)學(xué)生比較哪種方法最簡便，哪種思路最簡捷。
這類題，可以給學(xué)生最大的思維空間，使學(xué)生從不同的角度分析問題，探究數(shù)量間的相互關(guān)系，并能從不同的解法中找出最簡捷的方法，提高學(xué)生初步的邏輯思維能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。
三、運用多余型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的批判性
多余型開放題，將題目中的有用條件和無用條件混在一起，產(chǎn)生干擾因素，這就需要在解題時，認真分析條件與問題的關(guān)系，充分利用有用條件，舍棄無用條件，學(xué)會排除干擾因素，提高學(xué)生的鑒別能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性。
如：一根繩子長25米，第一次用去8米，第二次用去12米，這根繩子比原來短了多少米？
由于受封閉式解題習(xí)慣的影響，學(xué)生往往會產(chǎn)生一種凡是題中出現(xiàn)的條件都要用上的思維定勢，不對題目進行認真分析，錯誤地列式為：25－8－12或25－（8＋12）。
做題時引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，使學(xué)生明白：要求這根繩子比原來短了多少米，實際上就是求兩次一共用去多少米，這里25米是與解決問題無關(guān)的條件，正確的列式是：8＋12。
通過引導(dǎo)分析這類題，可以防止學(xué)生濫用題中的條件，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，提高學(xué)生明辨是非、去偽存真的鑒別能力。
四、運用隱藏型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性
隱藏型開放題，是解題所需的某些條件隱藏在題目的背后，如不注意容易遺漏。在解題時既要考慮問題及明確的條件，又要考慮與問題有關(guān)的隱藏著的條件。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生認真細致的審題習(xí)慣和思維的縝密性。
如：做一個長8分米、寬5分米的面袋，至少需要白布多少平方米？
解答此題時，學(xué)生往往忽視了面袋有“兩層”這個隱藏的條件，錯誤地列式為：8×5，正確列式應(yīng)為：8×5×2。
解此類題時要引導(dǎo)學(xué)生認真分析題意，找出題中的隱藏條件，使學(xué)生養(yǎng)成認真審題的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。
五、運用缺少型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性
缺少型開放題，按常規(guī)解法所給條件似乎不足，但如果換個角度去思考，便可得到解決。
如：在一個面積為12平方厘米的正方形內(nèi)剪一個最大的圓，所剪圓的面積是多少平方厘米？
按常規(guī)的思考方法：要求圓的面積，需先求出圓的半徑，根據(jù)題意，圓的半徑就是正方形邊長的一半，但根據(jù)題中所給條件，用小學(xué)的數(shù)學(xué)知識無法求出。換個角度來考慮：可以設(shè)所剪圓的半徑為r，那么正方形的邊長為2r，正方形的面積為（2r）[2]＝4r[2]＝12，r[2]＝3，所以圓的面積是3.14×3＝9.42（平方厘米）。
還可以這樣想：把原正方形平均分成4個小正方形，每個小正方形的邊長就是所剪圓的半徑，設(shè)圓的半徑為r，那么每個小正方形的面積為r[2]，原正方形的面積為4r[2]，r[2]＝12÷4，所剪圓的面積是3.14×（12÷4）＝9.42（平方厘米）。
數(shù)學(xué)實踐研究教學(xué)論文一、教師應(yīng)當接受專業(yè)的培訓(xùn)
教師通過參加教育主管部門舉辦的各種教學(xué)培訓(xùn)，更新教育觀念，改變教學(xué)方法，從原本單純的“教”，變成與學(xué)生互動，教學(xué)相長;認真學(xué)習(xí)專業(yè)知識，開闊視野，提高自己的業(yè)務(wù)能力。對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，學(xué)生們學(xué)會了某一種數(shù)學(xué)知識，卻沒有學(xué)會學(xué)習(xí)的方法，更不會把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活中去，只是為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，為了考試而學(xué)習(xí)。這不但不能達到素質(zhì)教育的要求，反而抑制了學(xué)生本身具備的能力，堵死了學(xué)生多方面發(fā)展的道路。而接受過專業(yè)培訓(xùn)的教師，在學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識的過程中，更能夠發(fā)掘?qū)W生的潛力，對學(xué)生未來的發(fā)展有著強大的推動作用。
二、教師應(yīng)當認真研究教材
教材是教學(xué)最基本的依據(jù)，教師所有的教學(xué)活動都應(yīng)當圍繞教材展開。教材也是連接學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要紐帶，依據(jù)教材，教師才能夠把知識傳授給學(xué)生。雖然現(xiàn)在提倡多姿多彩的教學(xué)方法，然而前提是要基于教材和課程標準要求的基礎(chǔ)上。有些教師采取了趣味的教學(xué)方法而使課堂熱熱鬧鬧，卻忽略了教材中的內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)輕松了，興趣濃厚了，然而卻沒有學(xué)習(xí)到應(yīng)該掌握的知識，這豈不是本末倒置嗎?熟悉教材中的知識是教師最基本的責(zé)任，并且還應(yīng)該掌握一至六年級數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。教師應(yīng)當根據(jù)教材中的知識，制定適當?shù)慕虒W(xué)方法，在把握好教材內(nèi)容和教學(xué)目標的基礎(chǔ)上，采用多樣的教學(xué)模式，才能保證不“跑題”，從而讓學(xué)生在有趣的課堂上學(xué)到知識。
三、教師應(yīng)當關(guān)注學(xué)生思維方式與心理情感
每個學(xué)生的性格不同，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的表現(xiàn)就會有很大的差別。教師應(yīng)當多加關(guān)注每個學(xué)生的具體情況，比如有些學(xué)生善于嚴密地思考，在某一處數(shù)學(xué)知識上，要把每一個點都想到，這種思維方式的優(yōu)點就是不會漏掉重要的信息，但是，卻花費時間比較長，教師就應(yīng)當教該學(xué)生如何篩選數(shù)學(xué)知識中的重要信息，忽略不重要的部分，從而節(jié)約學(xué)習(xí)的時間。而有些學(xué)生善于跳躍式思維，這種思維方式的優(yōu)點是速度快、對知識的接受能力強，卻容易因為馬虎粗心犯下錯誤，教師就應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成仔細認真的好習(xí)慣。關(guān)注學(xué)生的心理情感，有利于掌握學(xué)生的興趣所在，把學(xué)生喜歡的事物與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合到一起，讓學(xué)生在娛樂和游戲中學(xué)習(xí)，這比單純地講解教材中的知識效果要好得多。
四、教師應(yīng)當靈活使用適當?shù)慕虒W(xué)方法
對于小學(xué)生來說，他們還無法總結(jié)出具體的學(xué)習(xí)方法，而相對來說，教師的教學(xué)方法就決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)模式，合適的教學(xué)方法，能夠帶來更好的教學(xué)效果。而所謂合適的教學(xué)方法，其真正的含義就是適合教師所教的學(xué)生的教學(xué)方法，某一種學(xué)習(xí)方法對于某一個班級適合而對于另一個班級就未必適合，而教師要做的就是要使教學(xué)方法盡可能地適合大多數(shù)的學(xué)生，而對于情況比較特殊的學(xué)生，教師要多花一些時間和精力，幫助他們適應(yīng)學(xué)習(xí)環(huán)境或者是專門針對這些學(xué)生制定適應(yīng)于他們的教學(xué)方法。對于教師來說，每個學(xué)生都是平等的，教師不應(yīng)當因為自己教學(xué)方法的問題而造成某些學(xué)生學(xué)習(xí)方面的困難。教師是為學(xué)生“傳道授業(yè)解惑”，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法也應(yīng)當符合這一要求。
五、教師應(yīng)當做好課外的工作
要想讓學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)取得好的效果，單純地依靠教師課堂上的教學(xué)是完全不夠的。教師在教學(xué)之前就應(yīng)做好準備工作。教師應(yīng)當在課外研究好教材中的內(nèi)容，明確教學(xué)目標、教學(xué)重點和難點，預(yù)測哪些知識是學(xué)生難以理解的，應(yīng)采用怎樣的教學(xué)方式學(xué)生更容易理解，并認真寫好教案設(shè)計。在上課的時候會用到哪些教具，教師也應(yīng)當在課前準備好。而在講完一堂課之后，教師應(yīng)當認真批改學(xué)生的作業(yè)，及時了解學(xué)生掌握知識的情況，分析學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到了哪些問題，并且及時與學(xué)生交流，分析問題存在的原因，幫助學(xué)生解決這些問題。教師在課外做好這些工作就會減輕自己和學(xué)生在上課時的負擔(dān)，學(xué)生們學(xué)習(xí)的時候也會很輕松。從這一點來看，教師的課外工作的重要性絕不亞于課上的工作。
六、教師應(yīng)當積極參與教育科研
“開展教育科研是興教、興校、育人的根本保證?！苯處煵粌H要善于教，而且要善于研究教;不僅要培養(yǎng)學(xué)生，而且要通過科研，培養(yǎng)自己，教研相長。一方面，教師研究的問題直接來自教育教學(xué)實踐，是為解決具體問題服務(wù)的，它有極強的針對性和目的性。只有使科研與教學(xué)相結(jié)合，教師的科研活動才有價值。另一方面，教師的科研應(yīng)體現(xiàn)在如何將已有的教育理論研究成果盡快地轉(zhuǎn)化到教育教學(xué)實踐中去，促進教育教學(xué)水平的提高。第三，教師在教育科研中應(yīng)是一名學(xué)習(xí)者。首先，教師參與教育科研的學(xué)習(xí)者角色是一種自主式的學(xué)習(xí)主體。教育科研是一個不斷發(fā)現(xiàn)、探索、解決問題的過程，這正是“學(xué)習(xí)”的本質(zhì)所在。其次，教師作為自主式的學(xué)習(xí)者是貫穿教育教學(xué)過程始終的，只有學(xué)習(xí)行為日?；?，教師的科研水平才能不斷提高。唯有如此，教師才不是在自己的領(lǐng)域里被動的工作，而是主動地創(chuàng)造;他便不再是一支燃燒得什么也沒有的蠟燭，而是用科研不斷照亮自己前進的道路;他便不再是一個只對教材做膚淺了解、按教案簡單操作的工匠，而是必然成為攀登教育科學(xué)藝術(shù)高峰的實踐者。
長期以來，由于受片面追求升學(xué)率及“唯分數(shù)”的影響，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往只重視基本知識的教學(xué)，忽視思想品德教育的滲透；只重視解題結(jié)果的教學(xué)，忽視思維過程的訓(xùn)練；只采勸滿堂灌”的教法，忽視學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。要把教學(xué)的著眼點轉(zhuǎn)移到以提高民族素質(zhì)為根本宗旨的素質(zhì)教育上來，就必須轉(zhuǎn)變教育思想，破除陳舊的教育觀念，充分認識“應(yīng)試教育”的弊端和實施素質(zhì)教育的重大意義，從而自覺地從“應(yīng)試教育”轉(zhuǎn)軌到素質(zhì)教育，并根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，堅持教書育人，把思想品德教育滲透到教學(xué)之中。
通過數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，進行學(xué)習(xí)目的教育。學(xué)習(xí)目的是學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，不少內(nèi)容與人們的日常生活、生產(chǎn)和工作都有密切聯(lián)系，教學(xué)中讓學(xué)生認識所學(xué)知識的實際應(yīng)用價值，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
通過數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴格訓(xùn)練，進行學(xué)習(xí)素質(zhì)教育。認真負責(zé)的工作態(tài)度，善于獨立思考，敢于克服困難的性格，是社會主義公民的良好素質(zhì)之一，需要從小培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生書寫規(guī)范整潔、嚴格認真細致，自覺檢驗修正的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和勤于思考、不怕困難、敢于競爭的精神。
通過數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，進行辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生動手操作、實踐探索新知，經(jīng)歷“感性－－理性——應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，意會人類認識的發(fā)展辯證過程；讓學(xué)生在動態(tài)的學(xué)習(xí)過程中，體會事物是發(fā)展變化的；引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)學(xué)知識，認識事物間是普遍聯(lián)系的；讓學(xué)生在比較分析的認識活動中，感知矛盾的對立統(tǒng)一思想。
另外，還可以通過數(shù)學(xué)的一些數(shù)據(jù)、材料對學(xué)生進行思想教育，通過數(shù)學(xué)教師的為人師表，對學(xué)生進行潛移默化的思想教育，從而提高學(xué)生的心理素質(zhì)、思想素質(zhì)。
二、優(yōu)化教學(xué)方法，貫徹啟發(fā)式。
優(yōu)化教學(xué)方法，對于提高課堂效率，實施素質(zhì)教育起著十分重要的作用。優(yōu)化教學(xué)方法，就是要變“注入式”為“啟發(fā)式”。我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱早就強調(diào)：要堅持啟發(fā)式，反對注入式。可是在實際的課堂教學(xué)中，或多或少的存在著“注入式”，往往不顧學(xué)生的知識基儲理解能力和學(xué)習(xí)興趣，一味地向?qū)W生灌輸知識，死記硬背定義、法則，進行大量機械性重復(fù)練習(xí)。這種教法不利于提高學(xué)生的素質(zhì)。而啟發(fā)式教學(xué)就是要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探求新知，培養(yǎng)能力，發(fā)展智力，實現(xiàn)教與學(xué)的最佳結(jié)合。
（1）要突出學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)。啟發(fā)式教學(xué)旨在激發(fā)學(xué)生積極思考，促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)。教學(xué)過程是情感交流的過程。教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特征和數(shù)學(xué)學(xué)科特點，采用恰當?shù)慕虒W(xué)方法，創(chuàng)設(shè)情境引起興趣。例如：教學(xué)“能被3整除的數(shù)的特征”時，先復(fù)習(xí)被2、5整除的數(shù)的特征后，教師設(shè)問：看一個數(shù)能不能被3整除，是不是也看這個數(shù)的末位數(shù)字是不是3的倍數(shù)？學(xué)生檢驗后予以否定，教師再設(shè)問：判斷一個數(shù)能不能被3整除，除了計算外，還有沒有其它方法呢？
接著師生比一比，看準能很迅速地判斷任意一個自然數(shù)能否被3整除。比賽結(jié)果，總是老師獲勝。這時學(xué)生急于想知道老師是怎樣判斷的，為什么這樣快，于是產(chǎn)生了強烈的求知愿望。此時，學(xué)習(xí)興趣高，教學(xué)效果好。
（2）?要注意思維能力的培養(yǎng)。當今時代是科學(xué)技術(shù)突飛猛進向前發(fā)展的時代，不僅要求每個公民具有廣博的知識，更重要的是要有根高的智慧和才能。因此在教學(xué)中，不僅要加強雙基的訓(xùn)練，而且要把發(fā)展思維、培養(yǎng)能力貫穿于教學(xué)全過程。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，重在幫助學(xué)生形成豐富的感性認識，加強科學(xué)思維方法的指導(dǎo)，突出思維品質(zhì)的訓(xùn)練。
第一，要豐富學(xué)生的感性認識。由于小學(xué)生年齡小，知識不足，缺乏經(jīng)驗，思維的特點是由具體形象向抽象邏輯思維過渡，抽象思維活動需要具體形象作支撐。所以要遵循學(xué)生思維特點，創(chuàng)設(shè)情境，運用各種手段，豐富學(xué)生的感性認識，讓學(xué)生經(jīng)歷從形象到表象，再到抽象的認識過程，促使認識內(nèi)化。而觀察操作是豐富學(xué)生感性認識的重要手段。例如教學(xué)長方體面、棱、頂點的認識，可讓學(xué)生準備土豆一個，小刀一把，師生一起切土豆：A、先直著向下切一刀，把土豆分成兩塊，讓學(xué)生摸一摸其中一塊的面；B、切面朝下，再直著向下切一刀，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，兩個切面相交形成了一條線，這就是棱；C、最后橫著向下切一刀，讓學(xué)生再觀察發(fā)現(xiàn)，三個切面相交形成三條棱，這三條棱又相交成了一個點，這就是頂點。學(xué)生通過動手操作，觀察感知，對面、棱、頂點的概念已有初步體驗，其感性認識已很豐富，再認識長方體面、棱、頂點也就水到渠成了。
第二，要指導(dǎo)學(xué)生掌握思維方法。培養(yǎng)學(xué)生思維能力，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的思維方法，小學(xué)數(shù)學(xué)常用的思維方法是比較與分類，分析與綜合、抽象與概括。比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，比較知識的異同點，將知識進行分類，形成知識系統(tǒng)；分析與綜合是學(xué)生分析問題解決問題最基本的思維方法，特點是在解應(yīng)用題中要經(jīng)常用到；抽象與概括是思維過程的核心、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終目標。例如教學(xué)“乘法的初步認識”，可先讓學(xué)生對下面式子進行比較，分成兩大類：①2＋2＋2②5＋5＋5＋5＋5③3＋5＋6④8＋8⑤4＋4＋9③3＋3＋3＋3＋3然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：①②④⑥每個式子的加數(shù)都相同，最后抽象概括得出乘法的概念。
讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的獲得過程中，也形成了一定的數(shù)學(xué)思維方法。
第三，要訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)。思維的核心是思維品質(zhì)。思維品質(zhì)的優(yōu)劣是衡量思維能力高低的重要標志。因此在教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著重要作用。例如，加強審題分析，訓(xùn)練思維的邏輯性；突出變式練習(xí)，訓(xùn)練思維的深刻性；注重同題多解，訓(xùn)練思維的靈活性。
（3）要做到教與學(xué)的最佳結(jié)合。在教學(xué)中，既要研究如何改進教學(xué)方法，更需要研究指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。要用教師的主導(dǎo)作用充分向?qū)W生展現(xiàn)學(xué)習(xí)過程，顯示學(xué)習(xí)方法的“透明度”，使學(xué)生在探求新知識的同時，學(xué)會獲取知識的思維、方法、技巧。做到依據(jù)學(xué)習(xí)規(guī)律確定教法，利用教法指導(dǎo)學(xué)法，實現(xiàn)教與學(xué)的最佳結(jié)合。在具體教學(xué)實踐中要貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想，采用一法為主，多法配合的靈活多樣的教學(xué)方法，改進課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，著力引導(dǎo)學(xué)生在設(shè)疑、激疑、質(zhì)疑、解疑中學(xué)習(xí)新知。在學(xué)習(xí)過程中，教給學(xué)生四種主要的學(xué)習(xí)方法：①閱讀學(xué)習(xí)的方法。教師科學(xué)組織學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生學(xué)會提綱摯領(lǐng)，抓重點，從而科學(xué)讀書。
②嘗試學(xué)習(xí)的方法。通過“提出問題——嘗試探索——討論文流——明理開竅”的學(xué)習(xí)過程，從小激發(fā)學(xué)生敢于“讓我試一試”的動機，培養(yǎng)探究能力；③操作學(xué)習(xí)的方法。通過拼、擺、剪、比、畫等實踐活動，從動作感知到表象，再抽象概括，是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法；④數(shù)學(xué)思考的方法。通過例題的示范、練習(xí)的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握常用的數(shù)學(xué)思考方法，如有序、對應(yīng)、變換、轉(zhuǎn)化等，并能根據(jù)解決實際問題的需要，靈活地運用這些方法。
三、堅持因材施教，實行分類指導(dǎo)
由于人的遺傳因素、生理條件以及環(huán)境、教育等影響，學(xué)生的生理、心理結(jié)構(gòu)、接受能力和發(fā)展狀況有所差別，再加之社會對各方面的人才要求也不盡相同。
因此，實施小學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要考慮到學(xué)生的個別差異，因人而異。事實上，義務(wù)教育新大綱已在這方面有所體現(xiàn)，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求具有一定的彈性，增加了一些“只教不考”和選學(xué)的內(nèi)容，以適應(yīng)不同層次學(xué)生的需求。在教學(xué)中，應(yīng)堅持因材施教，實行分類指導(dǎo)。也就是根據(jù)各個學(xué)生的實際情況，按不同的層次進行指導(dǎo)，讓絕大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過努力都能達到教學(xué)大綱所規(guī)定的素質(zhì)要求，同時抓好“兩頭”，對學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，要分析產(chǎn)生困難的原因，有針對性地補差，在教學(xué)中做到提問側(cè)重中下生，板演突出中下生，行間巡視留心中下生，課內(nèi)輔導(dǎo)優(yōu)先中下生。對學(xué)有余力的學(xué)生，要積極為他們創(chuàng)造良好條件，讓他們脫穎而出，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，可適當補充一些內(nèi)容，擴大知識面；在練習(xí)上，可增加一些難度較高、綜合性較強的題目，加強思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性訓(xùn)練；在形式上，可組織他們參加數(shù)學(xué)課外活動和數(shù)學(xué)競賽，讓他們的聰明才智得到發(fā)揮。
這樣讓每一個學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都得到全面、和諧、充分的發(fā)揮。
[關(guān)鍵詞]:初中數(shù)學(xué)、學(xué)生出題、課堂教學(xué)、復(fù)習(xí)考試、評價
一、課題研究的背景和意義
在人們的傳統(tǒng)教學(xué)觀念中，老師出題是天經(jīng)地義的，而學(xué)生只有做題的份兒。由于這種思想的束縛，廣大教師在長期的教學(xué)過程中，漸漸地形成一種條件反射：教師絞盡腦汁出題，學(xué)生費盡心思做題；教師出題越出越多，學(xué)生做題越做越快；教師出題越出越難，學(xué)生做題越做越累；久而久之，教師成了出題的圣人，學(xué)生變?yōu)樽鲱}的機器；教師越教越厭，學(xué)生越學(xué)越煩。雖然做題可以使學(xué)生形成較強的解題能力，但圍繞“題型”和“題?！狈磸?fù)進行的“大運動量”訓(xùn)練，使學(xué)生的作業(yè)負擔(dān)沉重，不僅對學(xué)生的身心健康成長十分不利，而且使學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力、情感態(tài)度等方面的發(fā)展相對滯后。
在我的教學(xué)生涯中，聽過的課已不計其數(shù)，但在課堂上讓學(xué)生出題的教學(xué)形式還不多見。前不久有幸聽了幾節(jié)新課程理念的課，大家一致認為在許多成功的課中，常有一個共同的顯著的特點，那就是在課堂上都出現(xiàn)了學(xué)生出題的片段。其教學(xué)形式新穎，互動交流積極，課堂氣氛活躍，教學(xué)效果明顯。根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)在語文、數(shù)學(xué)、英語等學(xué)科都有一些在教學(xué)中采用學(xué)生出題教學(xué)法的例子，在其他非常規(guī)的教育教學(xué)工作中也出現(xiàn)了一些學(xué)生出題的現(xiàn)象，從結(jié)果來看都收到了良好的效果。如今新課程已在全國范圍內(nèi)全面實施，如果在初中數(shù)學(xué)中能合理地利用學(xué)生出題的形式，巧妙地運用于教學(xué)過程中或?qū)W生的復(fù)習(xí)考試中，開創(chuàng)一種新的教學(xué)模式，定會使數(shù)學(xué)教學(xué)錦上添花。
二、課題研究的理論依據(jù)
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為知識學(xué)習(xí)是一個建構(gòu)過程，必須突出學(xué)習(xí)者的主體作用。教師的講解并不能直接將知識傳輸給學(xué)生，教師只能通過組織者、合作者和引導(dǎo)者的身份，使學(xué)生主動參與到整個學(xué)習(xí)過程中去。因此，課堂上師生的交互和共同的活動顯得至關(guān)重要，“學(xué)習(xí)共同體”的形成以及對課堂社會環(huán)境和情境的營建成為獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的重要途徑。
“交往教學(xué)理論”把教學(xué)過程視為交往過程，注重師生交往的改進，強調(diào)學(xué)生個性的“自我實現(xiàn)”、“自我發(fā)展”。
隨著現(xiàn)代認知心理學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，國際上一些著名的心理學(xué)、教育學(xué)理論，如皮亞杰的發(fā)生認識論，布魯納的認知結(jié)構(gòu)與發(fā)現(xiàn)法，加里培林的活動理論，以及席卷原蘇聯(lián)的合作教育學(xué)等，都強調(diào)：每個學(xué)生都有自己的生活背景、家庭環(huán)境，這種特定的社會文化氛圍，導(dǎo)致不同的學(xué)生有不同的思維方式和解決問題的策略；學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一個被動吸取知識、記憶、反復(fù)練習(xí)、強化儲存的過程。一個有意義的學(xué)習(xí)過程是學(xué)生以一種積極的心態(tài)，調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗嘗試解決新問題，同化新知識，并構(gòu)建他們自己的意義；所有的新知識只有通過學(xué)生自身的“再創(chuàng)造”活動，使其納入自己的認知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的知識。對于每一個學(xué)習(xí)主體，沒有活動、沒有做就形不成學(xué)習(xí)。
三、國內(nèi)外相關(guān)研究的綜述
在國內(nèi)把學(xué)生出題的方法運用于教學(xué)中，已屢見不鮮，尤其是在語文的教學(xué)中。比如著名教育家魏書生老師，自1979年至今，從來不為他任教的學(xué)生出試題、刻印試題；也不買四面八方推銷的試題，學(xué)生盡管不做這些試題，也不做練習(xí)冊，但歷屆升學(xué)成績一直名列前茅。他成功的秘訣主要是引導(dǎo)學(xué)生做五件實事，其中最重要的是學(xué)生出題，每次出試題，都要按照班級規(guī)定的“試題大綱”去做。學(xué)生把被動地考試變?yōu)橹鲃拥貐⑴c；把獨自的思考變?yōu)楹献骱徒涣鳎话褑渭兊闹匾暱荚嚱Y(jié)果變?yōu)榧顚W(xué)生主動學(xué)習(xí)的過程。
現(xiàn)在很多語文教師在作文課時，都只提供習(xí)作范圍，由學(xué)生出題或選題。如教材中的“寫一件自己做過的或看到的事，把感受最深的部分寫具體”，就可讓學(xué)生依事定題，教師也可以從不同側(cè)面擬出一組題目由學(xué)生選擇，如《我做了一件好事》、《我做了一件錯事》、《一件糊涂事》、《××表揚了我》等等。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用學(xué)生出題的方法也有一些，如2001年1月12日，北京一中小學(xué)五年級的數(shù)學(xué)期末考試，竟讓學(xué)生自己出題，分組考試，學(xué)生考評。另據(jù)最新消息，2004北大自主招生曾出了12道試題。其中有一道竟是“給下一屆的考生出題”。
到目前為止，在初中數(shù)學(xué)中運用學(xué)生出題的教學(xué)法，偶爾零星地穿插于課堂教學(xué)中或在復(fù)習(xí)考試階段讓學(xué)生出卷的現(xiàn)象并不少見，但有意識的比較系統(tǒng)的研究目前還不是很多。
四、課題研究的過程
1、課題組成員經(jīng)常性地學(xué)習(xí)和研究有關(guān)新課程的知識，參加相關(guān)的培訓(xùn)和聽講座，領(lǐng)會其理念和精神，以轉(zhuǎn)變自己的舊觀念。
2、在調(diào)查（問卷調(diào)查與訪談錄）的基礎(chǔ)上，了解本地區(qū)各學(xué)校初中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)、課外復(fù)習(xí)以及組織考試等教學(xué)活動中采用學(xué)生出題法的基本情況。
3、在課堂教學(xué)中進行學(xué)生出題的嘗試。
4、在復(fù)習(xí)考試中組織學(xué)生出題的嘗試。
5、如何評價和激勵學(xué)生出題。
五、研究的初步成效
1、學(xué)習(xí)新課程的發(fā)現(xiàn)
我們整個課題組的成員，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，尤其是學(xué)習(xí)新課程標準和
翻閱多種版本的新教科書，結(jié)果都發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生做的課堂練習(xí)和習(xí)題，都與以前的老教材有顯著的差別，明顯的一點就是如學(xué)生自己操作的成分增多，開放性的問題增多，其中包括了許多讓學(xué)生自己出題的內(nèi)容。這進一步說明了我們的研究方向是正確的，是有價值的。
2、調(diào)查的發(fā)現(xiàn)
課題組的有關(guān)成員，根據(jù)事先設(shè)計的學(xué)生問卷和教師的訪談提綱，在市內(nèi)幾所學(xué)校進行了相關(guān)的調(diào)查，結(jié)果是：認為從未出過數(shù)學(xué)題的學(xué)生僅占10%，而85%的同學(xué)曾經(jīng)出過一些題目；有81%的同學(xué)認為學(xué)生出題對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有幫助的；有的同學(xué)在上課出過題目，有的同學(xué)則出過整份試卷；幾乎所有的被訪教師都說自己在教學(xué)過程中運用過學(xué)生出題的方法來調(diào)節(jié)教學(xué)，有時學(xué)生出的題目也相當好，并認為學(xué)生出題對數(shù)學(xué)教學(xué)有較大的幫助。
3、在課堂教學(xué)中進行學(xué)生出題的實踐
為了試驗在鞏固練習(xí)階段運用學(xué)生出題對教學(xué)能收到多大的效果，課題組在兩個平行班進行了對比試驗。這兩個班級的學(xué)生成績都比較好，但甲班的落后面明顯要比乙班大，優(yōu)秀率也明顯比乙班低。某一次講授《完全平方公式》這一節(jié)課時，計劃在乙班還是按照平時的教學(xué)模式進行教學(xué)，在甲班講授完新課進入鞏固練習(xí)階段時運用學(xué)生自己出題的方式進行練習(xí)鞏固。
在甲班，推導(dǎo)完完全平方公式，當學(xué)生理解了和可以表示兩個不同的數(shù)或式時，我就進行了啟發(fā)提問“那么就請你們把和換成你們喜歡的數(shù)或式，然后叫其他同學(xué)回答出計算結(jié)果，好不好？”學(xué)生聽了非常高興，因為這個時候不是叫他們做題目，而是叫他們出題目，這可是從來沒有過的，他們內(nèi)心都非常高興，紛紛舉手表示要求設(shè)計題目，第一位同學(xué)就出了一個等于幾的問題，很多同學(xué)輕而易舉地回答出了正確答案，課堂氣氛頓時活躍起來。在這個時候，我補充了一句“出題人可以指定某位同學(xué)回答”又引發(fā)了一個小，一些似乎還有點不懂的同學(xué)連忙輕聲請教別人，恐怕被出題人叫到回答錯誤而出丑，在問與答進行之中，有的同學(xué)出了偏題和怪題，我連忙又加了一個條件“出題人自己必須要知道答案，并且對回答的同學(xué)進行評價”這樣，相當于對問與答的人都進行了一次練習(xí)，還讓出題人當了一回小老師，心里上得到了一些滿足。后來，居然有同學(xué)提問“可不可以設(shè)計一個題目叫老師回答？”我當然滿口答應(yīng)，并且故意回答錯誤一個題目，立刻受到很多同學(xué)的指正，課堂氣氛達到了最。在臨近下課前五分鐘，與甲班一樣，我發(fā)下了事先準備好的課堂測驗紙，一共是10個運用完全平方公式進行計算的題目，下課時回收批改。
根據(jù)批改結(jié)果統(tǒng)計如下：
做對個數(shù)
10
9
8
7
6
6個以下
合計
甲班
25
9
4
3
4
3
48
乙班
38
6
3
1
2
50
10個全部做對的甲班有25個，占了全班的52.1%，乙班全對的有38個，占了全班的76%，顯然我們這一種讓學(xué)生出題的方式對于學(xué)生鞏固知識能收到非常好的效果。
為了進一步了解這種對比實驗的情況，又在另外兩個義務(wù)教育班（整個班的成績比較差）進行了類似的課堂教學(xué)實驗，還在別的年級的幾個層次的平行班進行相應(yīng)的實驗，結(jié)果也產(chǎn)生了類似的教學(xué)效果。當然有些課的內(nèi)容并不一定適合采用。
4、在復(fù)習(xí)考試中組織學(xué)生出題的實踐
我們通過多層次平行班的對比實驗，實驗班在復(fù)習(xí)考試中很少發(fā)放試卷，主要采用學(xué)生自己出試卷，而對比班在復(fù)習(xí)考試階段發(fā)放了大量的試卷，讓學(xué)生復(fù)習(xí)應(yīng)考，考試的結(jié)果實驗班的優(yōu)秀率和平均分明顯高于對比班。我們讓學(xué)生出試卷主要采取下列辦法：
（1）規(guī)定內(nèi)容。每個同學(xué)按課本各章節(jié)的知識點出題，大的章節(jié)可以一章出一份試卷，小的章節(jié)可以兩三章合起來出一份試卷，意在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識。
（2）收集錯題。讓每個同學(xué)針對一個階段或半個學(xué)期甚至一個學(xué)期的作業(yè)或平時測驗中的錯題收集起來，有的作適當改動，或改變數(shù)字，或改變條件和結(jié)論等，意在引以為戒，不再重犯。
（3）擬模出卷。每個學(xué)生按照老師給定的模式，如確定各個章節(jié)的分數(shù)比例，各種題型的比例，難易度的比例或是干脆給他一份樣卷讓其模仿出題，意在把握知識的系統(tǒng)性和綜合性。
（4）合作出題。讓合作小組中的各個不同層次的成員進行合理的分工，如根據(jù)成績的好差來分別負責(zé)容易題、稍難題和較難題等，意在各盡所能，培養(yǎng)合作精神。
（5）出后操作。不管是哪種形式出的題，每個人自己出的（包括小組出的）必須自己會做，每個人出的題目也必須要給其他相應(yīng)層次的同學(xué)做，并且做后要給出題者批改，有錯誤的要及時訂正，有不同意見的要在一起交流協(xié)商解決。此舉意在物盡其用，充分把掌握知識，培養(yǎng)能力落到實處。
5、評價和激勵學(xué)生出題的方法
（1）就學(xué)生出題行為來說，本身就帶有極大的激勵作用
心理學(xué)的研究表明：學(xué)生的學(xué)習(xí)主要有認知內(nèi)驅(qū)力、自我提高內(nèi)驅(qū)力、附屬內(nèi)驅(qū)力等內(nèi)在因素促使學(xué)生把自己的行為指向?qū)W習(xí)。其中自我提高內(nèi)驅(qū)力又稱自我提高的動機。這是一種因自己的能力或成就贏得相應(yīng)地位的需要而引起的內(nèi)驅(qū)力。自我提高內(nèi)驅(qū)力對學(xué)習(xí)有重大的促進作用，學(xué)生為了贏得在學(xué)校中的一定地位使自己有一個相應(yīng)的學(xué)習(xí)成績或能力特長，而努力學(xué)習(xí)。自我提高內(nèi)驅(qū)力是自尊心的需要，自尊心是自我提高內(nèi)驅(qū)力的基礎(chǔ)。蘇霍姆斯基認為“自尊心是學(xué)生前進的潛在力量，是前進的動力，是向上的源泉，它是高尚的品質(zhì)?！倍鴮W(xué)生的出題行為對學(xué)生的自我提高內(nèi)驅(qū)力的激發(fā)有以下幾點作用：首先，學(xué)生的出題過程就是一個積極思考的學(xué)習(xí)過程，也是自我提高的過程；其次，學(xué)生出題行為在教師的指導(dǎo)幫助下，學(xué)生可以對內(nèi)容或習(xí)題進行講解，可以走上講臺,讓學(xué)生走上講臺對學(xué)生是一個極大的鼓舞，對學(xué)生積極性是一個有力的驅(qū)動，這也是我國著名的教育家陶行知極力提倡的“小先生”制。
（2）結(jié)合多種方法、各種制度來激勵、強化學(xué)生的出題行為
我校針對學(xué)生的年級特點，本來就有一系列的獎懲制度：在初一時采用的是評星級學(xué)生的制度，當學(xué)生成績有進步時、平常作業(yè)完成得較好時、考試考出高分時，給予五角星或紅旗以示表揚，每周評出星級學(xué)生；在初二年級又采用平時成績與總評掛鉤等方法反映學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中的點點滴滴的進步，如在平時作業(yè)有創(chuàng)新，就相應(yīng)的在總評中累加一分，期末再累計學(xué)期獎勵總分等。在期末還要評數(shù)學(xué)標兵、優(yōu)秀合作小組等。
學(xué)生出題行為可以很自然地融合到這一些激勵措施中去。學(xué)生單獨出題出得好，馬上給他個人以肯定；學(xué)生小組合作出題有創(chuàng)意，可以給學(xué)生學(xué)習(xí)小組以獎勵；甚至當學(xué)生出了一個比較有創(chuàng)新的題目時，在單元測試中予以采納，在試卷中注明誰是命題人……所有這些，無疑又更大地激勵學(xué)生投入到自己學(xué)習(xí)、鞏固、出題、練習(xí)、再鞏固這一良性循環(huán)中去。
（3）評價學(xué)生出題的幾個注意點
首先，要及時進行表揚和鼓勵，讓學(xué)生養(yǎng)成在學(xué)習(xí)中有出題動機的學(xué)習(xí)好習(xí)慣。學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成是一個反復(fù)的過程，我們通過學(xué)習(xí)輔導(dǎo)，讓學(xué)生體會到出題行為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的可行性，從而把教師布置的行為進行內(nèi)化。其次，要關(guān)心愛護學(xué)生，容忍學(xué)生在出題過程中所犯的各種錯誤。學(xué)生由于知識或能力上的原因，可能會出一些錯題；由于動機的原因，也許會出一些難題來考考老師，看看老師的能力水平或以此來顯示自己學(xué)習(xí)的認真，在這點上，我們教師必須具體事情具體分析，無論學(xué)生題目出得好壞，我們都應(yīng)先給予以肯定，即使學(xué)生有錯誤，我們也應(yīng)在先肯定的基礎(chǔ)上，再指出他的錯誤所在，而不能打擊他們的積極性。
6、學(xué)生出題教學(xué)的部分顯性成果
多位老師在多次校級、市級公開課中都恰當?shù)剡\用了學(xué)生出題的方法來配合和輔助教學(xué)，受到了聽課老師的高度評價；吳乃才老師撰寫的論文《學(xué)生出題與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》獲得江山市教育教學(xué)論文評比三等獎。
六、課題研究的成效分析
學(xué)生的發(fā)展在很大程度上取決于自主參與意識的形成和主體參與能力的培養(yǎng)。因此，教師一定要真心誠意地把學(xué)生當作學(xué)習(xí)的主人，恰當?shù)匕l(fā)揮主導(dǎo)作用，并努力提高“導(dǎo)”的水平。改變過去教師出題，學(xué)生做題的狀況。教師要激發(fā)學(xué)生的自主參與意識。讓學(xué)生出題，既能讓學(xué)生熟悉所學(xué)的知識，又能激發(fā)學(xué)生的積極性。把出題權(quán)交給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分調(diào)動起學(xué)生參與練習(xí)的積極性，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。我想課堂教學(xué)最大的魅力就在于促進學(xué)生的發(fā)展，讓學(xué)生經(jīng)歷由不知到知，由不會到會，由不能到能的過程，讓學(xué)生感到經(jīng)過努力我也行，這才是對學(xué)生最大的鼓勵。興趣是最好的老師，有了興趣什么事情都容易做好。
經(jīng)過一年多的實踐，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生出題的空間是很大的。從時間上來說，他們可以在課堂上出題，也可以在課外出題；從人員上來說，可以個體單獨出題，也可以小組合作出題；從內(nèi)容上來說，可以針對某一個知識點，也可以針對許多知識；從數(shù)量上來說，可以出一兩個，也可以出較多的題目；從考查對象來說，可以考自己，考同伴，也可以考老師；從難度上來說，可以出容易題，稍難題，也可以出較難題；從題型上來說，可以出封閉題，也可以出開放題等等。我們在教學(xué)中正是靈活地根據(jù)種種出題的方式方法，才收到了良好的教學(xué)效果。
七、課題研究的思考
新一輪課程改革帶來了許多嶄新的教學(xué)觀念，“要充分的尊重和信任學(xué)生”這一理念深入人心。教師正努力構(gòu)建民主、平等、和諧的師生關(guān)系。尊重學(xué)生的個性差異和心理需求，正體現(xiàn)了以學(xué)生為本的教學(xué)思想，其目的是讓學(xué)生在出題中學(xué)會靈活重組所學(xué)數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)創(chuàng)造思維，在回答同學(xué)所編的題目中鞏固和學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。我們在教學(xué)中確實是嘗到了學(xué)生出題帶來的甜頭，也明顯收到了良好的教學(xué)效果，在研究過程中還總結(jié)了不少學(xué)生出題段方法和經(jīng)驗。但值得注意的是并不是每堂課都要讓學(xué)生出題，讓學(xué)生出題時要分階段作適當引導(dǎo)，避免他們常出一些偏題和怪題等現(xiàn)象，從而影響教學(xué)。
我們通過對一些個案的研究，平行班進行相應(yīng)的對比實驗所產(chǎn)生的教學(xué)效果的差異，實事求是地說，是否采用了學(xué)生出題的方法，并不能作為唯一的歸因，這必然還有許多其它的相關(guān)因素。由于我們課題組成員的經(jīng)驗和水平的限制，在研究過程中肯定有很多的不足，但我們有信心在今后對與本課題相關(guān)的內(nèi)容繼續(xù)進行研究，并不斷完善和深入，如收集他們出的好題，存入電腦，以后利用電腦協(xié)助出題等。
[參考資料]：
1、衢州市教科所編寫的《衢州教育》2005年第2期；
2、浙江教育出版社出版的《教育研究論文寫作指導(dǎo)》2001年5月第一版。
3、2001年1月15日中新社《學(xué)生出題考自己》。
4、戴再平《初中數(shù)學(xué)開放題集》2000年5月第一版。
5、中華人民共和國教育部《數(shù)學(xué)課程標準》2001年7月第一版。
6、劉兼孫曉天主編的《數(shù)學(xué)課程標準解讀》2002年5月第一版。
一、自主探究——讓學(xué)生體驗“再創(chuàng)造”
荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生把本人要學(xué)習(xí)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)在的知識灌輸給學(xué)生。”實踐證明，學(xué)習(xí)者不實行“再創(chuàng)造”，他對學(xué)習(xí)的內(nèi)容就難以真正理解，更談不上靈活運用了。如：學(xué)完了“圓的面積”出示一個圓，從圓心沿半徑切割后，拼成了近似長方形，已知長方形的周長比圓的周長大6厘米，求圓的面積。乍一看似乎無從下手，但學(xué)生經(jīng)過自主探究，便能想到：長方形的周長不就比圓的周長多出兩條寬，也就是兩條半徑，一條半徑的長度是3厘米，問題迎刃而解。教師作為教學(xué)內(nèi)容的加工者，應(yīng)站在發(fā)展學(xué)生思維的角度，相信學(xué)生的認知潛能，對于難度不大的例題，大膽舍棄過多，過細的鋪墊，盡量對學(xué)生少一些暗示，干預(yù)，正如“教學(xué)不需要精雕細刻，學(xué)習(xí)不需要精心打造”，要讓學(xué)生像科學(xué)家一樣去自己研究、發(fā)現(xiàn)，在自主探究中體驗，在體驗中主動建構(gòu)知識。
二、變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”
新一輪課程改革很重要的一個方面是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，在教學(xué)中更重要的是關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程以及情感、態(tài)度、價值觀、能力等方面的發(fā)展。就數(shù)學(xué)而言，學(xué)生一旦“學(xué)會”，享受到教學(xué)活動的成功喜悅，便會強化學(xué)習(xí)動機，從而更喜歡數(shù)學(xué)，在平時的教學(xué)中，我注意根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，不同的教學(xué)目標，根據(jù)學(xué)生的特點選用不同的教學(xué)方法，努力創(chuàng)設(shè)一種合諧、愉悅的教學(xué)氛圍各各種教學(xué)情境，精心設(shè)計教學(xué)過程。比如我在講“循環(huán)小數(shù)”這一部分內(nèi)容時出示蝸牛4分鐘看爬行7米，蜘蛛3分鐘行駛5米。讓學(xué)生自己提出想知道哪些數(shù)學(xué)問題，當提出想比較兩種動物誰跑的比較快時，自己去找尋答案，在計算過程中遇到循環(huán)小數(shù)的問題時，由于好奇心自己依靠課本這位“老師”找到答案。在講“三角形面積計算”中出示課件讓學(xué)生幫助農(nóng)民伯伯計算不同圖形的菜地的面積，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，在課堂上給予學(xué)生自主探索，合作交流，動手操作的權(quán)利，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見。
三、聯(lián)系生活——讓學(xué)生體驗“用數(shù)學(xué)”
《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)生活性，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)。”教師要創(chuàng)設(shè)條件，重視從學(xué)生出發(fā)，學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)；要善于引導(dǎo)學(xué)生把課程中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法應(yīng)用于生活實際，既可加深對知識的理解，體驗到生活中處處有數(shù)學(xué)，體驗到數(shù)學(xué)的價值。如我在講“圓的周長”時，讓學(xué)生幫助農(nóng)民伯伯設(shè)計圓形的牛欄。激發(fā)學(xué)生的興趣，用不同的方法求得籬笆的總長度。再如：公園的門票每張10元，50張可以購買團體票，每張8元，我們班一共有45人，該如何購票？學(xué)生們通過計算、思考得出多種解法，在比較中選擇最佳方案。四、變“權(quán)威教學(xué)”為“共同探討”
教與學(xué)都要以“做”為中心，讓學(xué)生找找、量量、拼拼……因為“你做了你才能學(xué)會”。皮亞杰指出：“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點就在于往往是口頭講解，而不是從實際操作開始數(shù)學(xué)教學(xué)?！薄白觥本褪亲寣W(xué)生動手操作，在操作中體驗數(shù)學(xué)，通過實踐活動，可以使學(xué)生獲得大量的感性認識，同時有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲，在教學(xué)中，我大膽放手，給學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主角，成為知識的主動探索者。我經(jīng)常告訴學(xué)生：“課堂是你們的，數(shù)學(xué)課本是你們的，三角板、量角器、圓規(guī)等這些學(xué)具也是你們的，這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)也是你們的，想學(xué)到更好的知識就要靠你們自己?！比纾涸诮虒W(xué)“三角形面積時”，學(xué)生結(jié)合平行四邊形面積推導(dǎo)過程和對三角形的認識，用自己準備的兩個完全一樣的銳角三角形、鈍角三角形，直角三角形拼成自己以前學(xué)過的圖形，自己總結(jié)出三角形面積是平行四邊形面積的一半，推導(dǎo)出三角形的面積公式。由自己總結(jié)出的知識點，可以很好的應(yīng)用到實際生活中。讓他們真正參加到教學(xué)中，讓他們?nèi)?chuàng)造性的學(xué)。
五、合作交流——讓學(xué)生體驗“說數(shù)學(xué)”
小學(xué)生的創(chuàng)造才能是廣義的“自我實踐的創(chuàng)造力”，即是在展示學(xué)生自我潛在能力時的創(chuàng)造力，對學(xué)生自己來說就好似初次全新活動實踐，具有創(chuàng)造性，它包括創(chuàng)造意向、創(chuàng)造思維品質(zhì)和創(chuàng)造技能。對于小學(xué)生來講，培養(yǎng)其“自我實踐的創(chuàng)造力”，必須是基礎(chǔ)牢固，同時學(xué)習(xí)創(chuàng)造?；A(chǔ)是創(chuàng)造的前提，離開了基礎(chǔ)，創(chuàng)造就成為無源之水、無本之木。
學(xué)校教育以課堂教學(xué)為主。從現(xiàn)代教學(xué)論的觀點看，教學(xué)過程既是學(xué)生在教師指導(dǎo)下的認知過程，也是學(xué)生的發(fā)展過程。同樣，課堂教學(xué)過程也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的過程。隨著創(chuàng)造教育的開展，最終要集中探索教師如何通過課堂教學(xué)，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識、創(chuàng)造意志、創(chuàng)造思維能力和素質(zhì)；激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造動機和創(chuàng)造激情；挖掘教材本身所蘊含的創(chuàng)造性因素；指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，滲透創(chuàng)造教育思想；教給學(xué)生創(chuàng)造的方法；研究教學(xué)過程，構(gòu)建創(chuàng)造教育的課堂教學(xué)模式，等等。數(shù)學(xué)是一門具有高智力價值的學(xué)科，是培養(yǎng)思維能力的基礎(chǔ)課，數(shù)學(xué)教學(xué)活動中蘊含著無窮的創(chuàng)造因素。對正處于智力開發(fā)最佳期的小學(xué)生來說，如何利用數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢實施創(chuàng)造教育和開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力呢？
一、喚起創(chuàng)造意識，激發(fā)創(chuàng)造激情，培養(yǎng)創(chuàng)造意志
創(chuàng)造性思維過程大體可分為4個階段，即：準備階段、醞釀階段、頓悟階段、檢驗階段。關(guān)鍵在頓悟階段。產(chǎn)生頓悟要有必要的心理環(huán)境，如對數(shù)學(xué)知識有主動獲取的追求，對數(shù)學(xué)學(xué)科有濃厚的興趣，對數(shù)學(xué)問題有鍥而不舍的鉆研精神等。
1.運用學(xué)科特點，喚起創(chuàng)造意識
學(xué)生的創(chuàng)造意識是在對數(shù)學(xué)特點、內(nèi)容發(fā)生興趣時而引發(fā)的。因此，教師備課時要挖掘教材的創(chuàng)造思維因素，喚起學(xué)生的創(chuàng)造意識。如：一位教師在講能被3整除的數(shù)的特征時，讓學(xué)生隨意報一個兩位數(shù)（例如12），一個3位數(shù)（例如123），要求都能被3整除。這一時難住了學(xué)生，而老師隨口說出了一連串能被3整除的3位數(shù)。學(xué)生感到神奇和驚訝，由此產(chǎn)生了強烈的求知欲望和主動探索的興趣。又如在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時，一般都是采用將平行四邊形割補轉(zhuǎn)化為長方形而得出“底×高等于平行四邊形面積”的教法，這位老師抓住學(xué)生“平行四邊形面積在什么情況下和長方形面積不等”的疑問，提出問題：“用4根木條釘成一個平行四邊形，把它拉成一個長方形，這時長方形與原平行四邊形相比，面積相等嗎？”這一問題的提出，引發(fā)出學(xué)生的不同答案：相等、增大了、減小了。爭論十分激烈，進而引發(fā)學(xué)生主動探求，最終得出結(jié)論：當平行四邊形與長方形底邊即長相等時，拉動平行四邊形成為長方形，其高變化了，面積相應(yīng)增大了。這樣一個具有學(xué)科特點的問題，引發(fā)和培養(yǎng)了學(xué)生用動態(tài)的觀點研究平行四邊形與長方形面積之間關(guān)系的主動探索欲望和求知精神。
2.利用學(xué)生的好奇心、好勝心，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情
好奇心是對新、特、奇事物進行探究的一種心理傾向。學(xué)生對感知到的新信息會提出各種各樣的問題，進而產(chǎn)生深入觀察、思考的急切心理。教師要利用這種心理，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情。如在學(xué)習(xí)三角形分類時，教師出示一個遮住了兩個角的三角形，讓學(xué)生猜一猜它是不是銳角三角形。學(xué)生直觀得到的信息是一個銳角，但是區(qū)分銳角三角形是不能僅憑這一直觀信息所能解決的。這個問題促使學(xué)生積極思考，幾種不同的答案使問題越辨越明，終于明白了只暴露一個銳角的三角形，不能肯定它就是銳角三角形，它可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形。
數(shù)學(xué)知識中的概念既平淡又枯燥，在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造意志呢？課堂教學(xué)興趣有賴于教師創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)誘導(dǎo)。有一位教師在教分數(shù)的意義建立整體“1”的概念時，由于這是個重要的基本概念，但又很枯燥，學(xué)生不易理解，便一改過去用線段圖的教法，而是創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂見的擬人手法，把3個梨、一堆小黃瓜、一個紅蘋果、幾支鉛筆給予命名，在討論中，將枯燥的分數(shù)意義中的重要概念整體“1”可表示一個計量單位、一個東西，也可表示一個整體的容易混淆之處講得明明白白。又如在低年級進行10以內(nèi)數(shù)的認識、加減法及百以內(nèi)數(shù)加減法教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)了手腦并用的手勢表示法：用手勢表示0——99所有的數(shù)，也可以表示計算的結(jié)果。由于一年級的計算不借助計算工具，不表述計算方法，而是直接通過計算得數(shù)，因而更需要集中注意力積極思維。教師在講清算理的基礎(chǔ)上，通過對學(xué)生的手勢訓(xùn)練，協(xié)調(diào)眼、手、腦、口并用，做到眼觀題目，心想方法，手演程序，口說思路，準中求快，使計算速度達到一定要求，從而促進其思維發(fā)展。此外，教師還創(chuàng)設(shè)了用手勢表示選擇題序號、判斷題正誤及數(shù)之間大小關(guān)系的3種符號，再輔以猜謎游戲、腦筋急轉(zhuǎn)彎等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們在有趣的活動中獲得新知。
二、挖掘教材本身蘊含的創(chuàng)造性因素，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維品質(zhì)
1.深入領(lǐng)會大綱的教學(xué)目的，挖掘教材蘊含的創(chuàng)造性因素
根據(jù)大綱要求，在確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的前提下，必須著力挖掘教材中的創(chuàng)造性因素。如計算數(shù)學(xué)中的簡算、速算方法：對于幾個數(shù)相加，其間有互為補數(shù)的，可以先加；連續(xù)數(shù)的加法，可以歸納為首項加末項乘以項數(shù)的一半；乘以5或25的可以用“五一倍作二”計算等等。創(chuàng)造力的開發(fā)可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。教材中應(yīng)用題教學(xué)，可利用一題多解、一題多編來培養(yǎng)學(xué)生的獨創(chuàng)性；通過幾何初步知識教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和空間想象力等。
2.注重課堂教學(xué)對學(xué)生創(chuàng)造思維品質(zhì)的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)課要緊緊抓住創(chuàng)造思維品質(zhì)的3個特點——思維的流暢性、變通性和獨創(chuàng)性，著力培養(yǎng)以下思維品質(zhì)：
（1）發(fā)散和聚合思維
創(chuàng)造性思維是發(fā)散思維與聚合思維的統(tǒng)一，發(fā)散思維是聚合思維的基礎(chǔ)，聚合思維是發(fā)散思維的起點，二者相互聯(lián)系，相輔相成。發(fā)散思維即求異思維或擴張思維，是從所給的信息中產(chǎn)生信息，重點是在同一的來源中產(chǎn)生各式各樣為數(shù)眾多的輸出。發(fā)散思維包括思維的流暢性、變通性、獨特性、創(chuàng)造性，核心是創(chuàng)造性。在教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生多角度思考問題，培養(yǎng)思維發(fā)散性，既有利于掌握知識，又有利于培養(yǎng)創(chuàng)造能力。
如：“1＝？”經(jīng)過發(fā)散思維，可獲得不同答案：
1＋0＝1（用加法運算）
100－99＝1（用減法運算）
1×1＝1（用乘法運算）
21÷21＝1（用除法運算）
3／4＋1／4＝1（想到了整體1）
1[2]＝1（想到平方）
運算中的發(fā)散思維需要以大量豐富的知識作基礎(chǔ)。唯有如此，才能從不同角度和不同聯(lián)系上去考慮問題，發(fā)散越廣，思維越靈活。例如，在教“乘法分配律”時，教師通過“在一組算式中為等式找朋友”來設(shè)計發(fā)散思維訓(xùn)練：
①（5＋3）×4⑤9×（2＋3）
②9×2＋9×3⑥3×6＋6×7
③5×4＋3×4⑦（3＋7）×6
④3×7＋6×4
學(xué)生可以找到3組等式作為手拉手的朋友。此時教師提出問題，哪位同學(xué)能給這個沒有朋友的第四個算式找個朋友？此時，學(xué)生的思維異?；钴S，運用“定勢打破法”、“逆向思維法”改題，創(chuàng)造條件使3×7＋6×4這個算式符合乘法分配律。學(xué)生們爭先恐后地說出了好幾種改法，最大限度地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，收到了異乎尋常的效果。
（2）培養(yǎng)學(xué)生的形象思維
形象思維具有直觀性、整體性、靈活性和富有情緒色彩等特點，可以起到線索誘導(dǎo)和啟發(fā)靈感的作用。小學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的思維特點正處于由形象思維向抽象思維過渡的階段，在開發(fā)右腦功能中，尤其要重視形象思維的培養(yǎng)。
要教好數(shù)學(xué)課，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識，需要從數(shù)學(xué)本身具有抽象性、具體形象性和邏輯性出發(fā)，使學(xué)生的形象思維和抽象思維得到協(xié)調(diào)發(fā)展：以形思數(shù)，幫助記憶；數(shù)形對照，加深理解；數(shù)形聯(lián)系，以利解題；數(shù)形結(jié)合，展現(xiàn)數(shù)學(xué)美。具體做到：
①增加信息量，注重培養(yǎng)空間想象力?？臻g想象力是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)。教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何課之前，把小學(xué)階段曾經(jīng)遇到過的圖形匯集起來，引導(dǎo)學(xué)生再認圖形，分別認識各類圖形的特征和外部關(guān)系，提高對圖形特征的感受，使學(xué)生的圖形信息深深儲存在右腦的潛意識里。然后擴大圖形感受面，通過收集小學(xué)課本以外生活中常見的各種圖形，還可引進立體圖像，讓學(xué)生親自體驗，充分發(fā)揮其右腦空間認識的潛能。
②因材施教，注意激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。有的學(xué)生因?qū)Ω拍畈磺宄驅(qū)μ厥鈭D形不認識而缺乏學(xué)習(xí)興趣，教師可以借助趣味圖形數(shù)學(xué)題，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容，選擇適合的題目，指導(dǎo)學(xué)生嚴格對照概念觀察、識別、學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、識別圖形的興趣。
③開發(fā)右腦功能，著力培養(yǎng)形象思維。以“動”態(tài)方式設(shè)置教學(xué)情境，或者數(shù)形結(jié)合，或者自制活動教具，這種教學(xué)的中心就是以具體形象為支柱，調(diào)動學(xué)生右腦潛意識的能動性。
概念教學(xué)的關(guān)鍵是學(xué)生對事物非本質(zhì)屬性與本質(zhì)屬性的辨別，它決定著能否迅速而準確地掌握概念。教師采取直觀教學(xué)方法，能夠活化右腦功能，但也要注意圖形的顯示必須采取“變式教學(xué)”。一位教師講等腰三角形時，出示各種各樣的等腰三角形把圖形中包含的本質(zhì)屬性（兩條邊相等……）和非本質(zhì)特征（位置、大小、方位）同時擺出來，突出本質(zhì)特征，便于學(xué)生從圖形的集合中分辨和加深對本質(zhì)屬性的認識。而有一位教師講梯形概念時，只出示標準圖形（下底邊線長），沒有應(yīng)用變式教學(xué)，結(jié)果學(xué)生的右腦在感知圖形時出現(xiàn)錯覺，當其做作業(yè)遇到倒向的梯形（下底邊線短）時，誤認為不是梯形，把“方位”這個非本質(zhì)特征理解為本質(zhì)特征，導(dǎo)致概念的錯誤。在開發(fā)右腦的教學(xué)中，教師注重數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形教學(xué)時切記要“變式”。
④動手操作，促其形象思維向抽象思維過渡，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。教學(xué)中自制和指導(dǎo)學(xué)生制作教具或?qū)W具，按教學(xué)要求進行切、拉、擺、畫、疊等操作訓(xùn)練，是經(jīng)常使用的教學(xué)手段。在三年級第五冊教學(xué)分數(shù)初步知識“幾分之一”時，教師在講1／2、1／3之后，讓學(xué)生用紙折出1／4，并用陰影表示。學(xué)生用同樣大小的正方形紙折出了很多不同形狀的1／4，并且能說出為什么形狀不同。如圖所示：
（附圖{圖}）
無疑，是形象思維支持了學(xué)生對抽象概念的思考、理解，加深了對1／4的意義的理解。又如：在講新教材時，提前教學(xué)生在家動手制作模型，選用的原材料大多是廢舊藥盒、木棒、牙簽、橡皮泥和飲料吸管等。如在講長方體前，布置學(xué)生用家里的土豆制作成一個長方體，這體現(xiàn)了創(chuàng)造教學(xué)的3個要素。一般地說，學(xué)生制作出長方體的模型要經(jīng)歷三步：一是要知覺長方體的整體形象；二是要觀察長方體邊和角的特征；三是要將圓土豆切割后，模擬成同長方體邊和角相類似的形象。這一活動主要是依靠右腦功能實現(xiàn)的，因此教師教學(xué)生超前動手操作的過程也是充分活化右腦的過程。需要指出，完成創(chuàng)造教學(xué)過程，還離不開學(xué)生良好個性品質(zhì)的參與。要求學(xué)生付出艱辛的勞動，必須伴隨其有對解決問題的濃厚興趣和頑強的意志力。
（3）直覺思維是創(chuàng)造力的起點，是創(chuàng)造思維的源泉
直覺思維具有快速、直接、跳躍（不是按邏輯思維一步步推理而來）的特點，這是右腦功能的體現(xiàn)。在教學(xué)中，小學(xué)生經(jīng)常有意無意地運用直覺思維解決問題，這要給予鼓勵，對于結(jié)果要予以驗證。
在引導(dǎo)學(xué)生研究綜合性較強的題目時，可以鼓勵中國學(xué)習(xí)聯(lián)盟膽猜想、估計、假設(shè)，因為新穎、獨創(chuàng)的思路往往產(chǎn)生于猜想、估計、假設(shè)之中。
（4）鼓勵學(xué)生發(fā)表獨立見解，改變傳統(tǒng)教學(xué)方法，發(fā)揚教學(xué)民主
在教學(xué)中要發(fā)揚民主的教學(xué)作風(fēng)，鼓勵學(xué)生積極思考問題，大膽發(fā)表意見，充分體現(xiàn)教學(xué)的主體性原則，有利于發(fā)展學(xué)生的個性。在討論問題時，要創(chuàng)設(shè)情境而不要設(shè)置框框，不能以教師的表情、語氣去干擾、壓制學(xué)生的思維；對學(xué)生中的一些錯誤意見不要指責(zé)、嘲笑；對有爭論的問題，要留給學(xué)生思考的余地；對于認真思考又有獨立見解的學(xué)生要給予鼓勵，這正是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的好時機。如一位教師在活動課上提出這樣一道題：
1×2×3×4＋1＝25＝5[2]
2×3×4×5＋1＝121＝11[2]
3×4×5×6＋1＝361＝19[2]
4×5×6×7＋1＝841＝29[2]
并提出這個結(jié)果的一般特性：4個連續(xù)自然數(shù)的乘積加1，所得的和是一個完全平方數(shù)。
這時，一個學(xué)生想到“4個連續(xù)自然數(shù)乘積加1的和的完全平方數(shù)有沒有規(guī)律呢？”他仔細觀察發(fā)現(xiàn)：11－5＝6，19－11＝8，29－19＝10，它們之差正好是6、8、10，都相差2，那么5×6×7×8＋1是否等于（29＋12）[2]呢？計算結(jié)果證實了這一猜想，他高興極了。接著他又想，從這個規(guī)律還可以找到其它規(guī)律嗎？經(jīng)過反復(fù)思考、計算，發(fā)現(xiàn)兩個連續(xù)自然數(shù)的積減1也可得5、11、19……，如1×2－1＝1，2×3－1＝5，3×4－1＝11，4×5－1＝19……，進而又發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：1×3＋2＝5，2×4＋3＝11，3×5＋4＝19……
（一）
中學(xué)是大學(xué)的基礎(chǔ)，大學(xué)教育要想有一個好的開端，就必須提高中學(xué)教育的質(zhì)量和水平。就中學(xué)教師來說，人人都希望自己的教育與教學(xué)活動能高效率，但這并非易事，它涉及到方方面面的諸多因素，如自己的工作能力、教育的大環(huán)境與小環(huán)境等主客觀原因，無論如何，學(xué)習(xí)、掌握、借鑒各種優(yōu)秀的教育、教學(xué)方法則是非常必要的。作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該了解國內(nèi)外先進的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，找出各種方法的優(yōu)缺點，然后根據(jù)中學(xué)的實際情況，吸收他人教學(xué)方法的長處，使自己的教學(xué)更上一個新的臺階，從而促進中學(xué)教學(xué)方法的不斷完善和發(fā)展。
國內(nèi)外中學(xué)數(shù)學(xué)施教的對象都是中學(xué)生，年齡段在13-18歲，心理發(fā)展階段屬于青少年期，他們具有相似的心理和認知水平，教學(xué)內(nèi)容大同小異，所要達到的目標和遵循的原則基本一致；正是由于在施教對象、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標等方面具有共同性，因此中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著可比性。比較中西方中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)有如下的相似之處：
(1)教學(xué)程序基本一致。各國中學(xué)數(shù)學(xué)講授新課基本上采用這樣的程序：老師提出問題，學(xué)生自學(xué)預(yù)習(xí)：學(xué)生在老師的指導(dǎo)下理解所學(xué)的內(nèi)容；鞏固所學(xué)的內(nèi)容；檢測所學(xué)的知識。
(2)講授法是各國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍采用的基本方法。不論中國還是美國，或者西方其他發(fā)達國家，數(shù)學(xué)知識的傳授基本上是以講授法為主，其他方法為輔助。
(3)普遍重視啟發(fā)式教學(xué)。第二次世界大戰(zhàn)后各國都進行了程度不同的教學(xué)方法改革，中學(xué)教學(xué)也不例外。通過教育改革各國都重視如何提高學(xué)生素質(zhì)、培養(yǎng)能力的教學(xué)，尤其重視啟發(fā)式教學(xué)思想在學(xué)科教學(xué)中的應(yīng)用。①
從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際來看，我國的教學(xué)方法與西方發(fā)達國家的相比，存在著差別，主要表現(xiàn)在：
(1)教師與學(xué)生在教學(xué)過程中關(guān)系和作用不同。中國大部分的教學(xué)方法都是以老師為中心，有“重教輕學(xué)”的傾向，在教學(xué)過程中大都是采取灌輸式的教學(xué)方法。這主要是我國長期的應(yīng)試教育導(dǎo)致的。盡管我國的教育改革努力向素質(zhì)教育的方向發(fā)展，但由于中考、高考對學(xué)生的影響仍然很大，使得大多數(shù)學(xué)校教育自覺或不自覺地滑向了題海戰(zhàn)術(shù)、應(yīng)試教育。這樣的教學(xué)方法雖然有利于學(xué)生記住數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式，在一定程度上掌握了較深、較難的數(shù)學(xué)知識。但弊端是很明顯的，它不能很好地調(diào)動學(xué)生的興趣，束縛了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。而國外特別是發(fā)達國家的教學(xué)方法重視學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，注意探索學(xué)生的好奇心；多采用啟發(fā)式教學(xué)方法，注重應(yīng)用教育，鼓勵學(xué)生發(fā)展。在教學(xué)過程中講究自愿，學(xué)生享受學(xué)習(xí)的充分自由，學(xué)習(xí)比較輕松愉快。
數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生與老師的關(guān)系不同也造成教學(xué)氣氛有明顯的差異。發(fā)達國家中，老師和學(xué)生基本上是朋友關(guān)系，可以互相自由地交往、交流，教師在教學(xué)過程中起輔導(dǎo)提示的作用。課堂上老師有目的地讓學(xué)生討論，學(xué)生可以自由出入，有時老師甚至可以別出心裁地把課本搬到野外與學(xué)生們一起在明媚的陽光下、柔和的清風(fēng)中愉悅地學(xué)習(xí)。這種教學(xué)方法能促進學(xué)生積極開動腦筋，增加對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，減輕學(xué)生壓力，造成歡快的教學(xué)氣氛，但中國學(xué)生長期以來處于嚴格的課堂管理中，強調(diào)教室、強調(diào)自己的座位，老師也不敢放開，擔(dān)心過分放松，會造成課堂上活潑有余、嚴肅不足和自由散漫的混亂場面，因為學(xué)習(xí)到底不是娛樂。同時由于中國傳統(tǒng)思想習(xí)慣不同，在嚴重“尊師”思想的影響下造成了老師與學(xué)生之間存在不可逾越的“鴻溝”，在教學(xué)過程中教師往往過分嚴肅，學(xué)生過分緊張，再加上數(shù)學(xué)不同于文科，故事性的內(nèi)容少，更加使學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)生很容易感到疲憊懈怠，致使一部分學(xué)生特別是差生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當成是服“若役”。
(2)對培養(yǎng)能力與個性發(fā)展的重視程度不同。在發(fā)達國家中強調(diào)個性的培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生自由發(fā)展，因而分層次個體教學(xué)方法使用得比較多。比如他們在教改中提出的非學(xué)校論的教學(xué)方法，及計算機程序教學(xué)法（把所要學(xué)的知識編成程序，讓學(xué)生面對計算機自學(xué)）。這些方法強調(diào)自學(xué)，注重因材施教，能較好地培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，滿足不同學(xué)生學(xué)習(xí)的需要。但這樣的教學(xué)方法也存在一定的弊端，如使學(xué)生很少聽到老師主動的講解，難以與同學(xué)進行互相幫助，互相影響；此外使學(xué)生很少接觸到課本以外的數(shù)學(xué)知識，影響學(xué)生的社會化。我國一般采用的教學(xué)方法大多是集中型吃“大鍋飯”的統(tǒng)一的教學(xué)。這樣的教學(xué)方法雖然有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識，有利于教師全面考慮、統(tǒng)籌安排，教師易于把握節(jié)奏。但是容易造成優(yōu)差生的嚴重分化，教學(xué)沒有針對性，不利于因材施教，實際上忽視了個性的差異。
在國外的數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重對學(xué)生的了解和溝通。如美國一些學(xué)校使用的教學(xué)日記法，學(xué)生以日記的形式記錄教學(xué)中的思維過程、心理狀況，使學(xué)生與教師能經(jīng)常通過日記進行交談，教師易于了解學(xué)生的認知水平、知識經(jīng)驗、興趣及個人思維風(fēng)格等非智力因素的個體差異，教師能從學(xué)生的這些資料中綜合出各種學(xué)生的成就抱負水平、焦慮水平、意志水平，從而設(shè)計出教學(xué)方案，提高教學(xué)水平。而我國教師過分注重智力因素，相對忽視了非智力因素，教師和學(xué)生的交流少，自然而然在他們之間形成隔膜，老師對學(xué)生的心理、情感、動機、興趣難以了解，無法得到反饋，學(xué)生的焦慮、交際需要等得不到及時的滿足。導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高。教師的教學(xué)具有很大盲目性。②
(3)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識與應(yīng)用數(shù)學(xué)教育的思想存在差異。國外的教學(xué)方法一般注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。重視應(yīng)用數(shù)學(xué)教育，具體反映在注重數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)中采用的例子盡量來源于現(xiàn)實生活。如日本的CRM教學(xué)法（復(fù)合的現(xiàn)實數(shù)學(xué)教學(xué)法），在教學(xué)過程中選取一些學(xué)生熟悉的事物，針對其中所包含的數(shù)學(xué)知識進行討論和探索，最后得出結(jié)論。這種教學(xué)方法深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，有利于培養(yǎng)他們利用數(shù)學(xué)眼光看問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意識，培養(yǎng)了用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力，學(xué)生畢業(yè)后能較好地適應(yīng)社會的需要。當然如果過分地聯(lián)系難免有牽強附會之嫌。我國的教育目標雖然說重視應(yīng)用教育，但至今未有與之協(xié)調(diào)的教學(xué)方法，事實上成了紙上談兵，仍然只是從數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，造成曲高和寡的情形。另一方面，中國當前的教育方法對培養(yǎng)學(xué)生的解題能力非常有效，善解題是中國教學(xué)方法中比較突出的特點，這從數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中取得的突出成績可以看出。
(4)教學(xué)中使用的工具和教學(xué)媒體也存在著差異。國外由于經(jīng)濟和科技發(fā)達，直觀教學(xué)手段有了極大提高，計算機輔助教學(xué)及各類教學(xué)媒體普遍被使用。隨著我國教育的改革，中國也力爭改善教學(xué)手段，如多媒體教學(xué)，但由于經(jīng)濟、科技等方面的原因，多媒體的普及遠遠不是近期可以實現(xiàn)的。③
（二）
當前我國的教育改革在極力推進由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)軌，因而以后教學(xué)的關(guān)鍵是如何提高學(xué)生的素質(zhì)。所謂的全面素質(zhì)可以概括為“四素質(zhì)三能力”，即：文化科學(xué)素質(zhì)、思想道德素質(zhì)、身體心理發(fā)展素質(zhì)、勞動技術(shù)素質(zhì)等四素質(zhì)和邏輯思維能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)造能力等三能力。故通過中外數(shù)學(xué)教學(xué)方法的比較，結(jié)合我國的實際情況，按照素質(zhì)教育的要求，我認為改進教學(xué)方法應(yīng)從以下幾個方面入手：(1)重視教師和學(xué)生的交流，改善教師與學(xué)生的關(guān)系，加強對學(xué)生的全面了解，調(diào)動學(xué)生的積極性；(2)重視能力的培養(yǎng)，真正做到使學(xué)生的素質(zhì)全面發(fā)展；(3)改進教學(xué)方法必須與改革考試制度相聯(lián)系，不破除升學(xué)率的壓力，就無法使教師與學(xué)生從考試的繁重負擔(dān)中解放出來。必須改變考試凌駕于教學(xué)之上，考試是“指揮棒”的不合理狀況，使考試成為教學(xué)的檢測手段，起輔助教學(xué)的作用。
教學(xué)有法，但無定法，世界上沒有一種放之四海而皆準的教學(xué)方法，因而對任何好的教學(xué)法都不能完全照搬，而應(yīng)根據(jù)實際情況，吸取合理的思想和有效的成分，創(chuàng)立一套合符實際的教學(xué)方法；在教學(xué)中不要固守一兩種教學(xué)方法，而要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、不同的學(xué)生采取相應(yīng)的教學(xué)方法，因材、因人施教是教學(xué)方法的唯一出發(fā)點。
主要參考文獻
①王子興主編《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》，南寧：廣西師范大學(xué)出版社
數(shù)學(xué)概括是一種特殊的概括，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點所決定的。數(shù)學(xué)概括是在數(shù)學(xué)符號、數(shù)量和空間關(guān)系、數(shù)學(xué)對象和運算等方面的概括。它具有以下顯著的特點：
1．數(shù)學(xué)研究對象本身已是概括的產(chǎn)物我們知道，數(shù)學(xué)的研究對象是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。它取自于客觀世界，但卻不是現(xiàn)實中的真正原型，而是從現(xiàn)實世界中概括出來的數(shù)學(xué)模型－－事物中的純數(shù)量關(guān)系和空間形式。例如自然數(shù)、點、線、面等原始概念，就是從現(xiàn)實世界中概括出來的。
2．數(shù)學(xué)概括具有層次性
數(shù)學(xué)概括是在概括基礎(chǔ)上所進行的再概括，數(shù)學(xué)是從原始概念開始，在此基礎(chǔ)上進行新的抽象，從而得到概括程度更高的新概念。在數(shù)學(xué)中往往要進行一系列地、逐級地概括，由此可得到概括水平越來越高的概念、法則和方法。這恰是數(shù)學(xué)在抽象思維方面具有相對封閉性的原因所在。正如德國數(shù)學(xué)家漢克爾的生動描述：“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞，唯獨數(shù)學(xué)，每一代人都在這古老的大廈上添加一層樓?！边@表明數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)為明顯的概括性質(zhì)：它的每一次發(fā)展都把原來的數(shù)學(xué)作為某種特例包含在新的數(shù)學(xué)中去。例如數(shù)系的擴張；中學(xué)里對三角函數(shù)的概括；從數(shù)列極限到函數(shù)極限的概括。從定理內(nèi)容上也可體會出數(shù)學(xué)概括的層次性，例如數(shù)學(xué)歸納法定理。
3．數(shù)學(xué)概括用數(shù)學(xué)語言來表述
數(shù)學(xué)概括的表述使用了特殊的語言體系－－特定的符號體系－－數(shù)學(xué)語言體系。而且這種表述形式貫穿于數(shù)學(xué)概括過程的始終。我們知道，語言是思維的載體。自然語言雖然可在一定程度上來表達數(shù)學(xué)，但卻不能達到完美精確的程度，因此數(shù)學(xué)工作者在自然語言的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出了數(shù)學(xué)語言－－數(shù)學(xué)有的形式化符號體系。它是人類自然語言的進一步概括。有了數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)研究的思維過程和結(jié)果就可精確簡練地表出。
二、數(shù)學(xué)概括在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)。
而所有這些學(xué)習(xí)都是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)，都離不開數(shù)學(xué)概括能力的支持與輔佐。
在此僅以數(shù)學(xué)能力的學(xué)習(xí)為例。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“通過數(shù)學(xué)教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生具有正確迅速的運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)運用數(shù)學(xué)分析和解決實際問題的能力?！?/p>
在運算能力方面，欲達“正確迅速”目的，就需在各類運算中概括出相應(yīng)的運算規(guī)律，將其歸納為一般形式。
數(shù)學(xué)概括在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面的作用也十分重要。邏輯思維是人類揭示客觀世界的本質(zhì)和規(guī)律的極其重要的思維活動，它幾乎滲透到人類獲取所有理論和新認識的每一過程，而數(shù)學(xué)則是體現(xiàn)邏輯最徹底的一門學(xué)科。學(xué)生在學(xué)習(xí)中遵循著數(shù)學(xué)的邏輯規(guī)律，他們從最基儲最簡單的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，在這些基本概念的基礎(chǔ)上進行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，僅研究0°－360°間角的三角函數(shù)，到了高中，通過角概念的推廣和弧度制的引入，概括出任意角三角函數(shù)，并從集合和映射的觀點出發(fā)加以研究。即在數(shù)學(xué)思想方法上也采用了概括性更強的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，學(xué)生邏輯思維能力的形成和發(fā)展離不開數(shù)學(xué)概括，數(shù)學(xué)概括不僅影響著學(xué)生邏輯思維的形成和發(fā)展，而且決定著學(xué)生邏輯思維的水平和質(zhì)量，概括水平越高，其邏輯思維的能力就越強。
